Selesaikan {c}{4x-y=-9}{2x+2y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 4 x - y = - 9 } \\ { 2 x + 2 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-2$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x-y=-9,2x+2y=-2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x-y=-9$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=y-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y-9\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali y-9.

$$x=\frac{1}{4}y-\frac{9}{4}$$

Gantikan \frac{-9+y}{4} dengan x dalam persamaan lain, 2x+2y=-2.

$$2\left(\frac{1}{4}y-\frac{9}{4}\right)+2y=-2$$

Darabkan 2 kali \frac{-9+y}{4}.

$$\frac{1}{2}y-\frac{9}{2}+2y=-2$$

Tambahkan \frac{y}{2} pada 2y.

$$\frac{5}{2}y-\frac{9}{2}=-2$$

Tambahkan \frac{9}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{5}{2}y=\frac{5}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=\frac{1}{4}y-\frac{9}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1-9}{4}$$

Tambahkan -\frac{9}{4} pada \frac{1}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x-y=-9,2x+2y=-2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-1\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{4\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{4\times 2-\left(-2\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{10}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-9\right)+\frac{1}{10}\left(-2\right)\\-\frac{1}{5}\left(-9\right)+\frac{2}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-2,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x-y=-9,2x+2y=-2$$

Untuk menjadikan 4x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\left(-9\right),4\times 2x+4\times 2y=4\left(-2\right)$$

Permudahkan.

$$8x-2y=-18,8x+8y=-8$$

Tolak 8x+8y=-8 daripada 8x-2y=-18 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x-8x-2y-8y=-18+8$$

Tambahkan 8x pada -8x. Seubtan 8x dan -8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2y-8y=-18+8$$

Tambahkan -2y pada -8y.

$$-10y=-18+8$$

Tambahkan -18 pada 8.

$$-10y=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -10.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam 2x+2y=-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+2=-2$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=1$$