Selesaikan {c}{2y+5x=12}{-2x-6y=-24}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 y + 5 x = 12 } \\ { - 2 x - 6 y = - 24 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=\frac{12}{13}\approx 0.923076923$$

$$y = \frac{48}{13} = 3\frac{9}{13} \approx 3.692307692$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2y+5x=12$$

Tolak 5x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=-5x+12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(-5x+12\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -5x+12.

$$y=-\frac{5}{2}x+6$$

Gantikan -\frac{5x}{2}+6 dengan y dalam persamaan lain, -6y-2x=-24.

$$-6\left(-\frac{5}{2}x+6\right)-2x=-24$$

Darabkan -6 kali -\frac{5x}{2}+6.

$$15x-36-2x=-24$$

Tambahkan 15x pada -2x.

$$13x-36=-24$$

Tambahkan 36 pada kedua-dua belah persamaan.

$$13x=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 13.

$$x=\frac{12}{13}$$

Gantikan \frac{12}{13} dengan x dalam y=-\frac{5}{2}x+6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-\frac{5}{2}\times \frac{12}{13}+6$$

Darabkan -\frac{5}{2} dengan \frac{12}{13} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$y=-\frac{30}{13}+6$$

Tambahkan 6 pada -\frac{30}{13}.

$$y=\frac{48}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{5}{26}\\\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 12-\frac{5}{26}\left(-24\right)\\\frac{3}{13}\times 12+\frac{1}{13}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{13}\\\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

Untuk menjadikan 2y dan -6y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$-6\times 2y-6\times 5x=-6\times 12,2\left(-6\right)y+2\left(-2\right)x=2\left(-24\right)$$

Permudahkan.

$$-12y-30x=-72,-12y-4x=-48$$

Tolak -12y-4x=-48 daripada -12y-30x=-72 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-12y+12y-30x+4x=-72+48$$

Tambahkan -12y pada 12y. Seubtan -12y dan 12y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-30x+4x=-72+48$$

Tambahkan -30x pada 4x.

$$-26x=-72+48$$

Tambahkan -72 pada 48.

$$-26x=-24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -26.

$$x=\frac{12}{13}$$

Gantikan \frac{12}{13} dengan x dalam -6y-2x=-24. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-6y-2\times \frac{12}{13}=-24$$

Darabkan -2 kali \frac{12}{13}.

$$-6y-\frac{24}{13}=-24$$

Tambahkan \frac{24}{13} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-6y=-\frac{288}{13}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$y=\frac{48}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$