Selesaikan {c}{2x-y=4}{4x+3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x - y = 4 } \\ { 4 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-y=4$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=y+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali y+4.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Gantikan \frac{y}{2}+2 dengan x dalam persamaan lain, 4x+3y=3.

$$4\left(\frac{1}{2}y+2\right)+3y=3$$

Darabkan 4 kali \frac{y}{2}+2.

$$2y+8+3y=3$$

Tambahkan 2y pada 3y.

$$5y+8=3$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5y=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=\frac{1}{2}y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+2$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -1.

$$x=-\frac{1}{2}+2$$

Tambahkan 2 pada -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\times 3-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 4+\frac{1}{10}\times 3\\-\frac{2}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Untuk menjadikan 2x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 4,2\times 4x+2\times 3y=2\times 3$$

Permudahkan.

$$8x-4y=16,8x+6y=6$$

Tolak 8x+6y=6 daripada 8x-4y=16 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x-8x-4y-6y=16-6$$

Tambahkan 8x pada -8x. Seubtan 8x dan -8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-4y-6y=16-6$$

Tambahkan -4y pada -6y.

$$-10y=16-6$$

Tambahkan 16 pada -6.

$$-10y=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -10.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam 4x+3y=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+3\left(-1\right)=3$$

Darabkan 3 kali -1.

$$4x-3=3$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$