Selesaikan {c}{2x-ky=5}{1/2x+y=4-7/2x}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x - k y = 5 } \\ { \frac { 1 } { 2 } x + y = 4 - \frac { 7 } { 2 } x } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{4k+5}{2\left(2k+1\right)}$$

$$y=-\frac{6}{2k+1}$$

$$k\neq -\frac{1}{2}$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan \frac{7}{2}x pada kedua-dua belah.

$$\frac{1}{2}x+y+\frac{7}{2}x=4$$

Gabungkan \frac{1}{2}x dan \frac{7}{2}x untuk mendapatkan 4x.

$$4x+y=4$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+\left(-k\right)y=5,4x+y=4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+\left(-k\right)y=5$$

Tambahkan ky pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=ky+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(ky+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali ky+5.

$$x=\frac{k}{2}y+\frac{5}{2}$$

Gantikan \frac{ky+5}{2} dengan x dalam persamaan lain, 4x+y=4.

$$4\left(\frac{k}{2}y+\frac{5}{2}\right)+y=4$$

Darabkan 4 kali \frac{ky+5}{2}.

$$2ky+10+y=4$$

Tambahkan 2ky pada y.

$$\left(2k+1\right)y+10=4$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(2k+1\right)y=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2k+1.

$$y=-\frac{6}{2k+1}$$

Gantikan -\frac{6}{2k+1} dengan y dalam x=\frac{k}{2}y+\frac{5}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{k}{2}\left(-\frac{6}{2k+1}\right)+\frac{5}{2}$$

Darabkan \frac{k}{2} kali -\frac{6}{2k+1}.

$$x=-\frac{3k}{2k+1}+\frac{5}{2}$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada -\frac{3k}{2k+1}.

$$x=\frac{4k+5}{2\left(2k+1\right)}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{4k+5}{2\left(2k+1\right)},y=-\frac{6}{2k+1}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan \frac{7}{2}x pada kedua-dua belah.

$$\frac{1}{2}x+y+\frac{7}{2}x=4$$

Gabungkan \frac{1}{2}x dan \frac{7}{2}x untuk mendapatkan 4x.

$$4x+y=4$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+\left(-k\right)y=5,4x+y=4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-k\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-k\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-k\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-k\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-k\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-k\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-k\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-k\right)\times 4}&-\frac{-k}{2-\left(-k\right)\times 4}\\-\frac{4}{2-\left(-k\right)\times 4}&\frac{2}{2-\left(-k\right)\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2\left(2k+1\right)}&\frac{k}{2\left(2k+1\right)}\\-\frac{2}{2k+1}&\frac{1}{2k+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2\left(2k+1\right)}\times 5+\frac{k}{2\left(2k+1\right)}\times 4\\\left(-\frac{2}{2k+1}\right)\times 5+\frac{1}{2k+1}\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4k+5}{2\left(2k+1\right)}\\-\frac{6}{2k+1}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{4k+5}{2\left(2k+1\right)},y=-\frac{6}{2k+1}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan \frac{7}{2}x pada kedua-dua belah.

$$\frac{1}{2}x+y+\frac{7}{2}x=4$$

Gabungkan \frac{1}{2}x dan \frac{7}{2}x untuk mendapatkan 4x.

$$4x+y=4$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+\left(-k\right)y=5,4x+y=4$$

Untuk menjadikan 2x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$4\times 2x+4\left(-k\right)y=4\times 5,2\times 4x+2y=2\times 4$$

Permudahkan.

$$8x+\left(-4k\right)y=20,8x+2y=8$$

Tolak 8x+2y=8 daripada 8x+\left(-4k\right)y=20 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x-8x+\left(-4k\right)y-2y=20-8$$

Tambahkan 8x pada -8x. Seubtan 8x dan -8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\left(-4k\right)y-2y=20-8$$

Tambahkan -4ky pada -2y.

$$\left(-4k-2\right)y=20-8$$

Tambahkan 20 pada -8.

$$\left(-4k-2\right)y=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4k-2.

$$y=-\frac{6}{2k+1}$$

Gantikan -\frac{6}{1+2k} dengan y dalam 4x+y=4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x-\frac{6}{2k+1}=4$$

Tambahkan \frac{6}{1+2k} pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=\frac{2\left(4k+5\right)}{2k+1}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{4k+5}{2\left(2k+1\right)}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{4k+5}{2\left(2k+1\right)},y=-\frac{6}{2k+1}$$