Selesaikan {c}{2x+3y=5}{x+3y=6}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-1$$

$$y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+3y=5,x+3y=6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+3y=5$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-3y+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Gantikan \frac{-3y+5}{2} dengan x dalam persamaan lain, x+3y=6.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}+3y=6$$

Tambahkan -\frac{3y}{2} pada 3y.

$$\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}=6$$

Tolak \frac{5}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{3}{2}y=\frac{7}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{3}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{7}{3}$$

Gantikan \frac{7}{3} dengan y dalam x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{3}+\frac{5}{2}$$

Darabkan -\frac{3}{2} dengan \frac{7}{3} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{-7+5}{2}$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada -\frac{7}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=\frac{7}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+3y=5,x+3y=6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3}&-\frac{3}{2\times 3-3}\\-\frac{1}{2\times 3-3}&\frac{2}{2\times 3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5-6\\-\frac{1}{3}\times 5+\frac{2}{3}\times 6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-1,y=\frac{7}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+3y=5,x+3y=6$$

Tolak x+3y=6 daripada 2x+3y=5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-x+3y-3y=5-6$$

Tambahkan 3y pada -3y. Seubtan 3y dan -3y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2x-x=5-6$$

Tambahkan 2x pada -x.

$$x=5-6$$

Tambahkan 5 pada -6.

$$x=-1$$

Gantikan -1 dengan x dalam x+3y=6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-1+3y=6$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=\frac{7}{3}$$