Selesaikan {c}{-x+2y=0}{2x-3y+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { c } { - x + 2 y = 0 } \\ { 2 x - 3 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-2$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-x+2y=0,2x-3y+1=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-x+2y=0$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-2y$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=-\left(-2\right)y$$

Darabkan -1 kali -2y.

$$x=2y$$

Gantikan 2y dengan x dalam persamaan lain, 2x-3y+1=0.

$$2\times 2y-3y+1=0$$

Darabkan 2 kali 2y.

$$4y-3y+1=0$$

Tambahkan 4y pada -3y.

$$y+1=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=2y. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=2\left(-1\right)$$

Darabkan 2 kali -1.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-x+2y=0,2x-3y+1=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-\left(-3\right)-2\times 2}&-\frac{2}{-\left(-3\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{-\left(-3\right)-2\times 2}&-\frac{1}{-\left(-3\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\left(-1\right)\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-2,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-x+2y=0,2x-3y+1=0$$

Untuk menjadikan -x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -1.

$$2\left(-1\right)x+2\times 2y=0,-2x-\left(-3y\right)-1=0$$

Permudahkan.

$$-2x+4y=0,-2x+3y-1=0$$

Tolak -2x+3y-1=0 daripada -2x+4y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-2x+2x+4y-3y+1=0$$

Tambahkan -2x pada 2x. Seubtan -2x dan 2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y-3y+1=0$$

Tambahkan 4y pada -3y.

$$y+1=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam 2x-3y+1=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-3\left(-1\right)+1=0$$

Darabkan -3 kali -1.

$$2x+3+1=0$$

Tambahkan 3 pada 1.

$$2x+4=0$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=-1$$