Selesaikan {c}{-3(3x-y)=2(y+x)}{-3(2x+y)=2(x-3y)}

$$\left\{ \begin{array} { c } { - 3 ( 3 x - y ) = 2 ( y + x ) } \\ { - 3 ( 2 x + y ) = 2 ( x - 3 y ) } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=0$$

$$y=0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -3 dengan 3x-y.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan y+x.

$$-9x+3y=2y+2x$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$-9x+3y-2y=2x$$

Gabungkan 3y dan -2y untuk mendapatkan y.

$$-9x+y=2x$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$-9x+y-2x=0$$

Gabungkan -9x dan -2x untuk mendapatkan -11x.

$$-11x+y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -3 dengan 2x+y.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x-3y.

$$-6x-3y=2x-6y$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

Gabungkan -6x dan -2x untuk mendapatkan -8x.

$$-8x-3y=-6y$$

Tambahkan 6y pada kedua-dua belah.

$$-8x-3y+6y=0$$

Gabungkan -3y dan 6y untuk mendapatkan 3y.

$$-8x+3y=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-11x+y=0$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-11x=-y$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -11.

$$x=-\frac{1}{11}\left(-1\right)y$$

Darabkan -\frac{1}{11} kali -y.

$$x=\frac{1}{11}y$$

Gantikan \frac{y}{11} dengan x dalam persamaan lain, -8x+3y=0.

$$-8\times \frac{1}{11}y+3y=0$$

Darabkan -8 kali \frac{y}{11}.

$$-\frac{8}{11}y+3y=0$$

Tambahkan -\frac{8y}{11} pada 3y.

$$\frac{25}{11}y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{25}{11} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam x=\frac{1}{11}y. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -3 dengan 3x-y.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan y+x.

$$-9x+3y=2y+2x$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$-9x+3y-2y=2x$$

Gabungkan 3y dan -2y untuk mendapatkan y.

$$-9x+y=2x$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$-9x+y-2x=0$$

Gabungkan -9x dan -2x untuk mendapatkan -11x.

$$-11x+y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -3 dengan 2x+y.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x-3y.

$$-6x-3y=2x-6y$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

Gabungkan -6x dan -2x untuk mendapatkan -8x.

$$-8x-3y=-6y$$

Tambahkan 6y pada kedua-dua belah.

$$-8x-3y+6y=0$$

Gabungkan -3y dan 6y untuk mendapatkan 3y.

$$-8x+3y=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{1}{-11\times 3-\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{11}{-11\times 3-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{25}&\frac{1}{25}\\-\frac{8}{25}&\frac{11}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=0,y=0$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -3 dengan 3x-y.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan y+x.

$$-9x+3y=2y+2x$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$-9x+3y-2y=2x$$

Gabungkan 3y dan -2y untuk mendapatkan y.

$$-9x+y=2x$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$-9x+y-2x=0$$

Gabungkan -9x dan -2x untuk mendapatkan -11x.

$$-11x+y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -3 dengan 2x+y.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan x-3y.

$$-6x-3y=2x-6y$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

Gabungkan -6x dan -2x untuk mendapatkan -8x.

$$-8x-3y=-6y$$

Tambahkan 6y pada kedua-dua belah.

$$-8x-3y+6y=0$$

Gabungkan -3y dan 6y untuk mendapatkan 3y.

$$-8x+3y=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

Untuk menjadikan -11x dan -8x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -8 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -11.

$$-8\left(-11\right)x-8y=0,-11\left(-8\right)x-11\times 3y=0$$

Permudahkan.

$$88x-8y=0,88x-33y=0$$

Tolak 88x-33y=0 daripada 88x-8y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$88x-88x-8y+33y=0$$

Tambahkan 88x pada -88x. Seubtan 88x dan -88x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-8y+33y=0$$

Tambahkan -8y pada 33y.

$$25y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 25.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam -8x+3y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-8x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=0$$