Selesaikan ∫ x^5+x^3-20x/x+2 wrt x

$$\int{ \frac{ { x }^{ 5 } + { x }^{ 3 } -20x }{ x+2 } }d x$$

Nilaikan

$$\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{4}}{2}+\frac{5x^{3}}{3}-5x^{2}+С$$

Langkah Penyelesaian

Faktorkan ungkapan yang belum difaktorkan dalam \frac{x^{5}+x^{3}-20x}{x+2}.

$$\int \frac{x\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+5\right)}{x+2}\mathrm{d}x$$

Batalkanx+2 pada kedua-dua pengangka dan penyebut.

$$\int x\left(x-2\right)\left(x^{2}+5\right)\mathrm{d}x$$

Kembangkan ungkapan.

$$\int x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-10x\mathrm{d}x$$

Sepadukan terma jumlah mengikut terma.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x+\int -2x^{3}\mathrm{d}x+\int 5x^{2}\mathrm{d}x+\int -10x\mathrm{d}x$$

Faktor daripada malar dalam setiap terma.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x-2\int x^{3}\mathrm{d}x+5\int x^{2}\mathrm{d}x-10\int x\mathrm{d}x$$

Sejak \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x^{4}\mathrm{d}x dengan \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{x^{5}}{5}-2\int x^{3}\mathrm{d}x+5\int x^{2}\mathrm{d}x-10\int x\mathrm{d}x$$

Sejak \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x^{3}\mathrm{d}x dengan \frac{x^{4}}{4}. Darabkan -2 kali \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{4}}{2}+5\int x^{2}\mathrm{d}x-10\int x\mathrm{d}x$$

Sejak \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x^{2}\mathrm{d}x dengan \frac{x^{3}}{3}. Darabkan 5 kali \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{4}}{2}+\frac{5x^{3}}{3}-10\int x\mathrm{d}x$$

Sejak \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x\mathrm{d}x dengan \frac{x^{2}}{2}. Darabkan -10 kali \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{4}}{2}+\frac{5x^{3}}{3}-5x^{2}$$

Permudahkan.

$$-5x^{2}+\frac{5x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{5}}{5}$$

Jika F\left(x\right) merupakan antiderivatif f\left(x\right), maka set semua antiderivatif f\left(x\right) diberikan oleh F\left(x\right)+C. Oleh itu, tambahkan malar persepaduan C\in \mathrm{R} kepada hasilnya.

$$-5x^{2}+\frac{5x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{5}}{5}+С$$

Bezakan w.r.t. x

$$x\left(x-2\right)\left(x^{2}+5\right)$$