Selesaikan ∫ (from 4 to 9) of (sqrt{x}+1)sqrt{x wrt x

$$\int _ { 4 } ^ { 9 } ( \sqrt { x } + 1 ) \sqrt { x } d x$$

Nilaikan

$$\frac{271}{6}\approx 45.166666667$$

Langkah Penyelesaian

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab \sqrt{x}+1 dengan \sqrt{x}.

$$\int _{4}^{9}\left(\sqrt{x}\right)^{2}+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Kira \sqrt{x} dikuasakan 2 dan dapatkan x.

$$\int _{4}^{9}x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Nilaikan penyepaduan terbukti dahulu.

$$\int x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Sepadukan terma jumlah mengikut terma.

$$\int x\mathrm{d}x+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Sejak \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x\mathrm{d}x dengan \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{2}}{2}+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Tulis semula \sqrt{x} sebagai x^{\frac{1}{2}}. Sejak \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x dengan \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Permudahkan.

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Integral terbukti adalah ungkapan antiderivatif dinilai pada had atas penyepaduan tolak antiderivatif yang dinilai pada had bawah penyepaduan.

$$\frac{9^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 9^{\frac{3}{2}}-\left(\frac{4^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}\right)$$

Permudahkan.

$$\frac{271}{6}$$