Selesaikan ∫ (from 1 - k to 1) of (x-x^2)

$$\int _ { 1 - k } ^ { 1 } ( x - x ^ { 2 } )$$

Nilaikan

$$-\frac{k^{3}}{3}+\frac{k^{2}}{2}$$

Langkah Penyelesaian

Nilaikan penyepaduan terbukti dahulu.

$$\int x-x^{2}\mathrm{d}x$$

Sepadukan terma jumlah mengikut terma.

$$\int x\mathrm{d}x+\int -x^{2}\mathrm{d}x$$

Faktor daripada malar dalam setiap terma.

$$\int x\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Sejak \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x\mathrm{d}x dengan \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{2}}{2}-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Sejak \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x^{2}\mathrm{d}x dengan \frac{x^{3}}{3}. Darabkan -1 kali \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}$$

Integral terbukti adalah ungkapan antiderivatif dinilai pada had atas penyepaduan tolak antiderivatif yang dinilai pada had bawah penyepaduan.

$$\frac{1^{2}}{2}-\frac{1^{3}}{3}-\left(\frac{1}{2}\left(1-k\right)^{2}-\frac{1}{3}\left(1-k\right)^{3}\right)$$

Permudahkan.

$$\frac{k^{2}}{2}-\frac{k^{3}}{3}$$

Bezakan w.r.t. k

$$k\left(1-k\right)$$