Selesaikan ∫ (from 0 to 2 cos x) of r-r^2dr

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \cos x } r - r ^ { 2 } d r$$

Nilaikan

$$\frac{2\left(-4\cos(x)+3\right)\left(\cos(x)\right)^{2}}{3}$$

Langkah Penyelesaian

Nilaikan penyepaduan terbukti dahulu.

$$\int r-r^{2}\mathrm{d}r$$

Sepadukan terma jumlah mengikut terma.

$$\int r\mathrm{d}r+\int -r^{2}\mathrm{d}r$$

Faktor daripada malar dalam setiap terma.

$$\int r\mathrm{d}r-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

Sejak \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int r\mathrm{d}r dengan \frac{r^{2}}{2}.

$$\frac{r^{2}}{2}-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

Sejak \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int r^{2}\mathrm{d}r dengan \frac{r^{3}}{3}. Darabkan -1 kali \frac{r^{3}}{3}.

$$\frac{r^{2}}{2}-\frac{r^{3}}{3}$$

Integral terbukti adalah ungkapan antiderivatif dinilai pada had atas penyepaduan tolak antiderivatif yang dinilai pada had bawah penyepaduan.

$$\frac{1}{2}\times \left(2\cos(x)\right)^{2}-\frac{1}{3}\times \left(2\cos(x)\right)^{3}-\left(\frac{0^{2}}{2}-\frac{0^{3}}{3}\right)$$

Permudahkan.

$$\left(\cos(x)\right)^{2}\left(2-\frac{8\cos(x)}{3}\right)$$

Bezakan w.r.t. x

$$2\sin(2x)\left(2\cos(x)-1\right)$$