Selesaikan ∫ (from - 1 to 1) of (1-y)y wrt y

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } ( 1 - y ) y d y$$

Nilaikan

$$-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

Langkah Penyelesaian

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 1-y dengan y.

$$\int _{-1}^{1}y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Nilaikan penyepaduan terbukti dahulu.

$$\int y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Sepadukan terma jumlah mengikut terma.

$$\int y\mathrm{d}y+\int -y^{2}\mathrm{d}y$$

Faktor daripada malar dalam setiap terma.

$$\int y\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Sejak \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int y\mathrm{d}y dengan \frac{y^{2}}{2}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Sejak \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int y^{2}\mathrm{d}y dengan \frac{y^{3}}{3}. Darabkan -1 kali \frac{y^{3}}{3}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}$$

Integral terbukti adalah ungkapan antiderivatif dinilai pada had atas penyepaduan tolak antiderivatif yang dinilai pada had bawah penyepaduan.

$$\frac{1^{2}}{2}-\frac{1^{3}}{3}-\left(\frac{\left(-1\right)^{2}}{2}-\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}\right)$$

Permudahkan.

$$-\frac{2}{3}$$