Selesaikan ∫ 3x^2(2x^2+4)^2 wrt x

$$\int 3 x ^ { 2 } ( 2 x ^ { 2 } + 4 ) ^ { 2 } d x$$

Nilaikan

$$\frac{12x^{7}}{7}+\frac{48x^{5}}{5}+16x^{3}+С$$

Langkah Penyelesaian

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2x^{2}+4\right)^{2}.

$$\int 3x^{2}\left(4\left(x^{2}\right)^{2}+16x^{2}+16\right)\mathrm{d}x$$

Untuk meningkatkan kuasa kepada kuasa lain, darabkan eksponen. Darab 2 dan 2 untuk mendapatkan 4.

$$\int 3x^{2}\left(4x^{4}+16x^{2}+16\right)\mathrm{d}x$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3x^{2} dengan 4x^{4}+16x^{2}+16.

$$\int 12x^{6}+48x^{4}+48x^{2}\mathrm{d}x$$

Sepadukan terma jumlah mengikut terma.

$$\int 12x^{6}\mathrm{d}x+\int 48x^{4}\mathrm{d}x+\int 48x^{2}\mathrm{d}x$$

Faktor daripada malar dalam setiap terma.

$$12\int x^{6}\mathrm{d}x+48\int x^{4}\mathrm{d}x+48\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Sejak \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x^{6}\mathrm{d}x dengan \frac{x^{7}}{7}. Darabkan 12 kali \frac{x^{7}}{7}.

$$\frac{12x^{7}}{7}+48\int x^{4}\mathrm{d}x+48\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Sejak \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x^{4}\mathrm{d}x dengan \frac{x^{5}}{5}. Darabkan 48 kali \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{12x^{7}}{7}+\frac{48x^{5}}{5}+48\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Sejak \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x^{2}\mathrm{d}x dengan \frac{x^{3}}{3}. Darabkan 48 kali \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{12x^{7}}{7}+\frac{48x^{5}}{5}+16x^{3}$$

Jika F\left(x\right) merupakan antiderivatif f\left(x\right), maka set semua antiderivatif f\left(x\right) diberikan oleh F\left(x\right)+C. Oleh itu, tambahkan malar persepaduan C\in \mathrm{R} kepada hasilnya.

$$\frac{12x^{7}}{7}+\frac{48x^{5}}{5}+16x^{3}+С$$

Bezakan w.r.t. x

$$12\left(x\left(x^{2}+2\right)\right)^{2}$$