Selesaikan ∫ (x^2+2x+3)(x+1) wrt x

$$\int ( x ^ { 2 } + 2 x + 3 ) ( x + 1 ) d x$$

Nilaikan

$$\frac{x^{4}}{4}+x^{3}+\frac{5x^{2}}{2}+3x+С$$

Langkah Penyelesaian

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x^{2}+2x+3 dengan x+1 dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$\int x^{3}+3x^{2}+5x+3\mathrm{d}x$$

Sepadukan terma jumlah mengikut terma.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int 3x^{2}\mathrm{d}x+\int 5x\mathrm{d}x+\int 3\mathrm{d}x$$

Faktor daripada malar dalam setiap terma.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+3\int x^{2}\mathrm{d}x+5\int x\mathrm{d}x+\int 3\mathrm{d}x$$

Sejak \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x^{3}\mathrm{d}x dengan \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{4}+3\int x^{2}\mathrm{d}x+5\int x\mathrm{d}x+\int 3\mathrm{d}x$$

Sejak \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x^{2}\mathrm{d}x dengan \frac{x^{3}}{3}. Darabkan 3 kali \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{4}+x^{3}+5\int x\mathrm{d}x+\int 3\mathrm{d}x$$

Sejak \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x\mathrm{d}x dengan \frac{x^{2}}{2}. Darabkan 5 kali \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{4}+x^{3}+\frac{5x^{2}}{2}+\int 3\mathrm{d}x$$

Cari integral dari 3 menggunakan jadual peraturan integral umum \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{4}}{4}+x^{3}+\frac{5x^{2}}{2}+3x$$

Jika F\left(x\right) merupakan antiderivatif f\left(x\right), maka set semua antiderivatif f\left(x\right) diberikan oleh F\left(x\right)+C. Oleh itu, tambahkan malar persepaduan C\in \mathrm{R} kepada hasilnya.

$$\frac{x^{4}}{4}+x^{3}+\frac{5x^{2}}{2}+3x+С$$

Bezakan w.r.t. x

$$\left(x+1\right)\left(x^{2}+2x+3\right)$$