Selesaikan ∫ (4-5x)^3 wrt x

$$\int ( 4 - 5 x ) ^ { 3 } d x$$

Nilaikan

$$-\frac{\left(4-5x\right)^{4}}{20}+С$$

Langkah Penyelesaian

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} untuk mengembangkan \left(4-5x\right)^{3}.

$$\int 64-240x+300x^{2}-125x^{3}\mathrm{d}x$$

Sepadukan terma jumlah mengikut terma.

$$\int 64\mathrm{d}x+\int -240x\mathrm{d}x+\int 300x^{2}\mathrm{d}x+\int -125x^{3}\mathrm{d}x$$

Faktor daripada malar dalam setiap terma.

$$\int 64\mathrm{d}x-240\int x\mathrm{d}x+300\int x^{2}\mathrm{d}x-125\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Cari integral dari 64 menggunakan jadual peraturan integral umum \int a\mathrm{d}x=ax.

$$64x-240\int x\mathrm{d}x+300\int x^{2}\mathrm{d}x-125\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Sejak \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x\mathrm{d}x dengan \frac{x^{2}}{2}. Darabkan -240 kali \frac{x^{2}}{2}.

$$64x-120x^{2}+300\int x^{2}\mathrm{d}x-125\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Sejak \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x^{2}\mathrm{d}x dengan \frac{x^{3}}{3}. Darabkan 300 kali \frac{x^{3}}{3}.

$$64x-120x^{2}+100x^{3}-125\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Sejak \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x^{3}\mathrm{d}x dengan \frac{x^{4}}{4}. Darabkan -125 kali \frac{x^{4}}{4}.

$$64x-120x^{2}+100x^{3}-\frac{125x^{4}}{4}$$

Jika F\left(x\right) merupakan antiderivatif f\left(x\right), maka set semua antiderivatif f\left(x\right) diberikan oleh F\left(x\right)+C. Oleh itu, tambahkan malar persepaduan C\in \mathrm{R} kepada hasilnya.

$$64x-120x^{2}+100x^{3}-\frac{125x^{4}}{4}+С$$

Bezakan w.r.t. x

$$\left(4-5x\right)^{3}$$