Selesaikan ∫ (2x-3)*(x-2)^2 wrt x

$$\int ( 2 x - 3 ) \cdot ( x - 2 ) ^ { 2 } d x$$

Nilaikan

$$\frac{x^{4}}{2}-\frac{11x^{3}}{3}+10x^{2}-12x+С$$

Langkah Penyelesaian

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x-2\right)^{2}.

$$\int \left(2x-3\right)\left(x^{2}-4x+4\right)\mathrm{d}x$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2x-3 dengan x^{2}-4x+4 dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$\int 2x^{3}-11x^{2}+20x-12\mathrm{d}x$$

Sepadukan terma jumlah mengikut terma.

$$\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int -11x^{2}\mathrm{d}x+\int 20x\mathrm{d}x+\int -12\mathrm{d}x$$

Faktor daripada malar dalam setiap terma.

$$2\int x^{3}\mathrm{d}x-11\int x^{2}\mathrm{d}x+20\int x\mathrm{d}x+\int -12\mathrm{d}x$$

Sejak \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x^{3}\mathrm{d}x dengan \frac{x^{4}}{4}. Darabkan 2 kali \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{2}-11\int x^{2}\mathrm{d}x+20\int x\mathrm{d}x+\int -12\mathrm{d}x$$

Sejak \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x^{2}\mathrm{d}x dengan \frac{x^{3}}{3}. Darabkan -11 kali \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{2}-\frac{11x^{3}}{3}+20\int x\mathrm{d}x+\int -12\mathrm{d}x$$

Sejak \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x\mathrm{d}x dengan \frac{x^{2}}{2}. Darabkan 20 kali \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{2}-\frac{11x^{3}}{3}+10x^{2}+\int -12\mathrm{d}x$$

Cari integral dari -12 menggunakan jadual peraturan integral umum \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{4}}{2}-\frac{11x^{3}}{3}+10x^{2}-12x$$

Permudahkan.

$$10x^{2}-\frac{11x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{2}-12x$$

Jika F\left(x\right) merupakan antiderivatif f\left(x\right), maka set semua antiderivatif f\left(x\right) diberikan oleh F\left(x\right)+C. Oleh itu, tambahkan malar persepaduan C\in \mathrm{R} kepada hasilnya.

$$10x^{2}-\frac{11x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{2}-12x+С$$

Bezakan w.r.t. x

$$\left(2x-3\right)\left(x-2\right)^{2}$$