Selesaikan ∫ (2x^3+5)^3

$$\int ( 2 x ^ { 3 } + 5 ) ^ { 3 }$$

Nilaikan

$$\frac{4x^{10}}{5}+\frac{60x^{7}}{7}+\frac{75x^{4}}{2}+125x+С$$

Langkah Penyelesaian

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} untuk mengembangkan \left(2x^{3}+5\right)^{3}.

$$\int 8\left(x^{3}\right)^{3}+60\left(x^{3}\right)^{2}+150x^{3}+125\mathrm{d}x$$

Untuk meningkatkan kuasa kepada kuasa lain, darabkan eksponen. Darab 3 dan 3 untuk mendapatkan 9.

$$\int 8x^{9}+60\left(x^{3}\right)^{2}+150x^{3}+125\mathrm{d}x$$

Untuk meningkatkan kuasa kepada kuasa lain, darabkan eksponen. Darab 3 dan 2 untuk mendapatkan 6.

$$\int 8x^{9}+60x^{6}+150x^{3}+125\mathrm{d}x$$

Sepadukan terma jumlah mengikut terma.

$$\int 8x^{9}\mathrm{d}x+\int 60x^{6}\mathrm{d}x+\int 150x^{3}\mathrm{d}x+\int 125\mathrm{d}x$$

Faktor daripada malar dalam setiap terma.

$$8\int x^{9}\mathrm{d}x+60\int x^{6}\mathrm{d}x+150\int x^{3}\mathrm{d}x+\int 125\mathrm{d}x$$

Sejak \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x^{9}\mathrm{d}x dengan \frac{x^{10}}{10}. Darabkan 8 kali \frac{x^{10}}{10}.

$$\frac{4x^{10}}{5}+60\int x^{6}\mathrm{d}x+150\int x^{3}\mathrm{d}x+\int 125\mathrm{d}x$$

Sejak \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x^{6}\mathrm{d}x dengan \frac{x^{7}}{7}. Darabkan 60 kali \frac{x^{7}}{7}.

$$\frac{4x^{10}}{5}+\frac{60x^{7}}{7}+150\int x^{3}\mathrm{d}x+\int 125\mathrm{d}x$$

Sejak \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x^{3}\mathrm{d}x dengan \frac{x^{4}}{4}. Darabkan 150 kali \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{4x^{10}}{5}+\frac{60x^{7}}{7}+\frac{75x^{4}}{2}+\int 125\mathrm{d}x$$

Cari integral dari 125 menggunakan jadual peraturan integral umum \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{4x^{10}}{5}+\frac{60x^{7}}{7}+\frac{75x^{4}}{2}+125x$$

Permudahkan.

$$125x+\frac{75x^{4}}{2}+\frac{60x^{7}}{7}+\frac{4x^{10}}{5}$$

Jika F\left(x\right) merupakan antiderivatif f\left(x\right), maka set semua antiderivatif f\left(x\right) diberikan oleh F\left(x\right)+C. Oleh itu, tambahkan malar persepaduan C\in \mathrm{R} kepada hasilnya.

$$125x+\frac{75x^{4}}{2}+\frac{60x^{7}}{7}+\frac{4x^{10}}{5}+С$$

Bezakan w.r.t. x

$$\left(2x^{3}+5\right)^{3}$$