Selesaikan ∫ (2x^2-1)(3x+5) wrt x

$$\int ( 2 x ^ { 2 } - 1 ) ( 3 x + 5 ) d x$$

Nilaikan

$$\frac{3x^{4}}{2}+\frac{10x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}-5x+С$$

Langkah Penyelesaian

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2x^{2}-1 dengan 3x+5.

$$\int 6x^{3}+10x^{2}-3x-5\mathrm{d}x$$

Sepadukan terma jumlah mengikut terma.

$$\int 6x^{3}\mathrm{d}x+\int 10x^{2}\mathrm{d}x+\int -3x\mathrm{d}x+\int -5\mathrm{d}x$$

Faktor daripada malar dalam setiap terma.

$$6\int x^{3}\mathrm{d}x+10\int x^{2}\mathrm{d}x-3\int x\mathrm{d}x+\int -5\mathrm{d}x$$

Sejak \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x^{3}\mathrm{d}x dengan \frac{x^{4}}{4}. Darabkan 6 kali \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{3x^{4}}{2}+10\int x^{2}\mathrm{d}x-3\int x\mathrm{d}x+\int -5\mathrm{d}x$$

Sejak \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x^{2}\mathrm{d}x dengan \frac{x^{3}}{3}. Darabkan 10 kali \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{3x^{4}}{2}+\frac{10x^{3}}{3}-3\int x\mathrm{d}x+\int -5\mathrm{d}x$$

Sejak \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x\mathrm{d}x dengan \frac{x^{2}}{2}. Darabkan -3 kali \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{3x^{4}}{2}+\frac{10x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}+\int -5\mathrm{d}x$$

Cari integral dari -5 menggunakan jadual peraturan integral umum \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{3x^{4}}{2}+\frac{10x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}-5x$$

Jika F\left(x\right) merupakan antiderivatif f\left(x\right), maka set semua antiderivatif f\left(x\right) diberikan oleh F\left(x\right)+C. Oleh itu, tambahkan malar persepaduan C\in \mathrm{R} kepada hasilnya.

$$\frac{3x^{4}}{2}+\frac{10x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}-5x+С$$

Bezakan w.r.t. x

$$\left(3x+5\right)\left(2x^{2}-1\right)$$