Selesaikan frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

Selesaikan untuk b

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

Langkah untuk Menyelesaikan Persamaan Radikal

Nisbahkan penyebut \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} dengan mendarabkan pembilang dan penyebut dengan 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Pertimbangkan \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Pendaraban boleh diubah menjadi perbezaan kuasa dua dengan menggunakan peraturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Kuasa dua 2. Kuasa dua \sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Tolak 5 daripada 4 untuk mendapatkan -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Darabkan 2+\sqrt{5} dan 2+\sqrt{5} untuk mendapatkan \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Punca kuasa untuk \sqrt{5} ialah 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Tambahkan 4 dan 5 untuk dapatkan 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Apa-apa sahaja yang dibahagikan dengan -1 memberikan nilai yang bertentangan. Untuk mencari yang bertentangan dengan 9+4\sqrt{5}, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Nisbahkan penyebut \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} dengan mendarabkan pembilang dan penyebut dengan 2-\sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

Pertimbangkan \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right). Pendaraban boleh diubah menjadi perbezaan kuasa dua dengan menggunakan peraturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

Kuasa dua 2. Kuasa dua \sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

Tolak 5 daripada 4 untuk mendapatkan -1.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Darabkan 2-\sqrt{5} dan 2-\sqrt{5} untuk mendapatkan \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Punca kuasa untuk \sqrt{5} ialah 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Tambahkan 4 dan 5 untuk dapatkan 9.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Apa-apa sahaja yang dibahagikan dengan -1 memberikan nilai yang bertentangan. Untuk mencari yang bertentangan dengan 9-4\sqrt{5}, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Tolak 9 daripada -9 untuk mendapatkan -18.

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Gabungkan -4\sqrt{5} dan 4\sqrt{5} untuk mendapatkan 0.

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

Tolak a daripada kedua-dua belah.

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Membahagi dengan 5 membuat asal pendaraban dengan 5.

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Selesaikan untuk a

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$