Selesaikan frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}-frac{2-sqrt{3}}{2+sqrt{3}}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 3 } }{ 2- \sqrt{ 3 } } - \frac{ 2- \sqrt{ 3 } }{ 2+ \sqrt{ 3 } }$$

Nilaikan

$$8\sqrt{3}\approx 13.856406461$$

Langkah Penyelesaian

Nisbahkan penyebut \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} dengan mendarabkan pembilang dan penyebut dengan 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Pertimbangkan \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Pendaraban boleh diubah menjadi perbezaan kuasa dua dengan menggunakan peraturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Kuasa dua 2. Kuasa dua \sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Tolak 3 daripada 4 untuk mendapatkan 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Apa-apa sahaja yang dibahagikan dengan satu menjadi nombor tersebut.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Darabkan 2+\sqrt{3} dan 2+\sqrt{3} untuk mendapatkan \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Nisbahkan penyebut \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} dengan mendarabkan pembilang dan penyebut dengan 2-\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}$$

Pertimbangkan \left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right). Pendaraban boleh diubah menjadi perbezaan kuasa dua dengan menggunakan peraturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Kuasa dua 2. Kuasa dua \sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}$$

Tolak 3 daripada 4 untuk mendapatkan 1.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}$$

Apa-apa sahaja yang dibahagikan dengan satu menjadi nombor tersebut.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)$$

Darabkan 2-\sqrt{3} dan 2-\sqrt{3} untuk mendapatkan \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$4+4\sqrt{3}+3-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Tambahkan 4 dan 3 untuk dapatkan 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+3\right)$$

Tambahkan 4 dan 3 untuk dapatkan 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(7-4\sqrt{3}\right)$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 7-4\sqrt{3}, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$7+4\sqrt{3}-7-\left(-4\sqrt{3}\right)$$

Nombor bertentangan -4\sqrt{3} ialah 4\sqrt{3}.

$$7+4\sqrt{3}-7+4\sqrt{3}$$

Tolak 7 daripada 7 untuk mendapatkan 0.

$$4\sqrt{3}+4\sqrt{3}$$

Gabungkan 4\sqrt{3} dan 4\sqrt{3} untuk mendapatkan 8\sqrt{3}.

$$8\sqrt{3}$$