Selesaikan frac{{left(36-18sqrt{3}right)}^2}{{left(81-45sqrt{3}right)}^2}

$$\frac{ { \left(36-18 \sqrt{ 3 } \right) }^{ 2 } }{ { \left(81-45 \sqrt{ 3 } \right) }^{ 2 } }$$

Nilaikan

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+2\right)}{3}\approx 2.488033872$$

Langkah Penyelesaian

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(36-18\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{1296-1296\sqrt{3}+324\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{\left(81-45\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$\frac{1296-1296\sqrt{3}+324\times 3}{\left(81-45\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Darabkan 324 dan 3 untuk mendapatkan 972.

$$\frac{1296-1296\sqrt{3}+972}{\left(81-45\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Tambahkan 1296 dan 972 untuk dapatkan 2268.

$$\frac{2268-1296\sqrt{3}}{\left(81-45\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(81-45\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{2268-1296\sqrt{3}}{6561-7290\sqrt{3}+2025\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$\frac{2268-1296\sqrt{3}}{6561-7290\sqrt{3}+2025\times 3}$$

Darabkan 2025 dan 3 untuk mendapatkan 6075.

$$\frac{2268-1296\sqrt{3}}{6561-7290\sqrt{3}+6075}$$

Tambahkan 6561 dan 6075 untuk dapatkan 12636.

$$\frac{2268-1296\sqrt{3}}{12636-7290\sqrt{3}}$$

Nisbahkan penyebut \frac{2268-1296\sqrt{3}}{12636-7290\sqrt{3}} dengan mendarabkan pembilang dan penyebut dengan 12636+7290\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{\left(12636-7290\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}$$

Pertimbangkan \left(12636-7290\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right). Pendaraban boleh diubah menjadi perbezaan kuasa dua dengan menggunakan peraturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{12636^{2}-\left(-7290\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Kira 12636 dikuasakan 2 dan dapatkan 159668496.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{159668496-\left(-7290\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Kembangkan \left(-7290\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{159668496-\left(-7290\right)^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Kira -7290 dikuasakan 2 dan dapatkan 53144100.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{159668496-53144100\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{159668496-53144100\times 3}$$

Darabkan 53144100 dan 3 untuk mendapatkan 159432300.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{159668496-159432300}$$

Tolak 159432300 daripada 159668496 untuk mendapatkan 236196.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{236196}$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2268-1296\sqrt{3} dengan 12636+7290\sqrt{3} dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$\frac{28658448+157464\sqrt{3}-9447840\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{236196}$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$\frac{28658448+157464\sqrt{3}-9447840\times 3}{236196}$$

Darabkan -9447840 dan 3 untuk mendapatkan -28343520.

$$\frac{28658448+157464\sqrt{3}-28343520}{236196}$$

Tolak 28343520 daripada 28658448 untuk mendapatkan 314928.

$$\frac{314928+157464\sqrt{3}}{236196}$$

Kembangkan

$$\frac{2 \sqrt{3} + 4}{3} = 2.488033871712585$$

Langkah Penyelesaian

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(36-18\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{1296-1296\sqrt{3}+324\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{\left(81-45\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$\frac{1296-1296\sqrt{3}+324\times 3}{\left(81-45\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Darabkan 324 dan 3 untuk mendapatkan 972.

$$\frac{1296-1296\sqrt{3}+972}{\left(81-45\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Tambahkan 1296 dan 972 untuk dapatkan 2268.

$$\frac{2268-1296\sqrt{3}}{\left(81-45\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(81-45\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{2268-1296\sqrt{3}}{6561-7290\sqrt{3}+2025\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$\frac{2268-1296\sqrt{3}}{6561-7290\sqrt{3}+2025\times 3}$$

Darabkan 2025 dan 3 untuk mendapatkan 6075.

$$\frac{2268-1296\sqrt{3}}{6561-7290\sqrt{3}+6075}$$

Tambahkan 6561 dan 6075 untuk dapatkan 12636.

$$\frac{2268-1296\sqrt{3}}{12636-7290\sqrt{3}}$$

Nisbahkan penyebut \frac{2268-1296\sqrt{3}}{12636-7290\sqrt{3}} dengan mendarabkan pembilang dan penyebut dengan 12636+7290\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{\left(12636-7290\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}$$

Pertimbangkan \left(12636-7290\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right). Pendaraban boleh diubah menjadi perbezaan kuasa dua dengan menggunakan peraturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{12636^{2}-\left(-7290\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Kira 12636 dikuasakan 2 dan dapatkan 159668496.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{159668496-\left(-7290\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Kembangkan \left(-7290\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{159668496-\left(-7290\right)^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Kira -7290 dikuasakan 2 dan dapatkan 53144100.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{159668496-53144100\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{159668496-53144100\times 3}$$

Darabkan 53144100 dan 3 untuk mendapatkan 159432300.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{159668496-159432300}$$

Tolak 159432300 daripada 159668496 untuk mendapatkan 236196.

$$\frac{\left(2268-1296\sqrt{3}\right)\left(12636+7290\sqrt{3}\right)}{236196}$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2268-1296\sqrt{3} dengan 12636+7290\sqrt{3} dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$\frac{28658448+157464\sqrt{3}-9447840\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{236196}$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$\frac{28658448+157464\sqrt{3}-9447840\times 3}{236196}$$

Darabkan -9447840 dan 3 untuk mendapatkan -28343520.

$$\frac{28658448+157464\sqrt{3}-28343520}{236196}$$

Tolak 28343520 daripada 28658448 untuk mendapatkan 314928.

$$\frac{314928+157464\sqrt{3}}{236196}$$