Selesaikan x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 21, gandaan sepunya terkecil sebanyak 7,3.

$$3x+7y=105$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 14.

$$-x+42y=364$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+7y=105$$

Tolak 7y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-7y+105$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Gantikan -\frac{7y}{3}+35 dengan x dalam persamaan lain, -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Darabkan -1 kali -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Tambahkan \frac{7y}{3} pada 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Tambahkan 35 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{133}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=9$$

Gantikan 9 dengan y dalam x=-\frac{7}{3}y+35. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Darabkan -\frac{7}{3} kali 9.

$$x=-21+35$$

Tambahkan 35 pada -21.

$$x=14$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=14,y=9$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 21, gandaan sepunya terkecil sebanyak 7,3.

$$3x+7y=105$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 14.

$$-x+42y=364$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=14,y=9$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 21, gandaan sepunya terkecil sebanyak 7,3.

$$3x+7y=105$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 14.

$$-x+42y=364$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Untuk menjadikan 3x dan -x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Permudahkan.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Tolak -3x+126y=1092 daripada -3x-7y=-105 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Tambahkan -3x pada 3x. Seubtan -3x dan 3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Tambahkan -7y pada -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Tambahkan -105 pada -1092.

$$-133y=-1197$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -133.

$$y=9$$

Gantikan 9 dengan y dalam -x+42y=364. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-x+42\times 9=364$$

Darabkan 42 kali 9.

$$-x+378=364$$

Tolak 378 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=14$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=14,y=9$$