Selesaikan x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=15$$

$$y=12$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 20, gandaan sepunya terkecil sebanyak 5,4.

$$4x=5y$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Darabkan \frac{1}{4} kali 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Gantikan \frac{5y}{4} dengan x dalam persamaan lain, -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Tambahkan -\frac{5y}{4} pada y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -4.

$$y=12$$

Gantikan 12 dengan y dalam x=\frac{5}{4}y. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Darabkan \frac{5}{4} kali 12.

$$x=15$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=15,y=12$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 20, gandaan sepunya terkecil sebanyak 5,4.

$$4x=5y$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah.

$$4x-5y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3.

$$y=x-3$$

Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-3$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=15,y=12$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 20, gandaan sepunya terkecil sebanyak 5,4.

$$4x=5y$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah.

$$4x-5y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3.

$$y=x-3$$

Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-3$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Untuk menjadikan 4x dan -x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Permudahkan.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Tolak -4x+4y=-12 daripada -4x+5y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Tambahkan -4x pada 4x. Seubtan -4x dan 4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$5y-4y=12$$

Tambahkan 5y pada -4y.

$$y=12$$

Gantikan 12 dengan y dalam -x+y=-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-x+12=-3$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=15$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=15,y=12$$