Selesaikan x^2/100+x-56=0

$$\frac { x ^ { 2 } } { 100 } + x - 56 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-140$$

$$x=40$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 100.

$$x^{2}+100x-5600=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan x^{2}+100x-5600 menggunakan formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=100 ab=-5600$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -5600.

$$-1,5600 -2,2800 -4,1400 -5,1120 -7,800 -8,700 -10,560 -14,400 -16,350 -20,280 -25,224 -28,200 -32,175 -35,160 -40,140 -50,112 -56,100 -70,80$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+5600=5599 -2+2800=2798 -4+1400=1396 -5+1120=1115 -7+800=793 -8+700=692 -10+560=550 -14+400=386 -16+350=334 -20+280=260 -25+224=199 -28+200=172 -32+175=143 -35+160=125 -40+140=100 -50+112=62 -56+100=44 -70+80=10$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 100.

$$a=-40 b=140$$

Tulis semula ungkapan \left(x+a\right)\left(x+b\right) yang difaktorkan dengan menggunakan nilai yang diperolehi.

$$\left(x-40\right)\left(x+140\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-40=0 dan x+140=0.

$$x=40 x=-140$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 100.

$$x^{2}+100x-5600=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai x^{2}+ax+bx-5600. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=100 ab=1\left(-5600\right)=-5600$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -5600.

$$-1,5600 -2,2800 -4,1400 -5,1120 -7,800 -8,700 -10,560 -14,400 -16,350 -20,280 -25,224 -28,200 -32,175 -35,160 -40,140 -50,112 -56,100 -70,80$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+5600=5599 -2+2800=2798 -4+1400=1396 -5+1120=1115 -7+800=793 -8+700=692 -10+560=550 -14+400=386 -16+350=334 -20+280=260 -25+224=199 -28+200=172 -32+175=143 -35+160=125 -40+140=100 -50+112=62 -56+100=44 -70+80=10$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 100.

$$a=-40 b=140$$

Tulis semula x^{2}+100x-5600 sebagai \left(x^{2}-40x\right)+\left(140x-5600\right).

$$\left(x^{2}-40x\right)+\left(140x-5600\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 140 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(x-40\right)+140\left(x-40\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-40 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-40\right)\left(x+140\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-40=0 dan x+140=0.

$$x=40 x=-140$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$\frac{1}{100}x^{2}+x-56=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan \frac{1}{100} dengan a, 1 dengan b dan -56 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times \frac{1}{100}\left(-56\right)}}{2\times \frac{1}{100}}$$

Kuasa dua 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times \frac{1}{100}\left(-56\right)}}{2\times \frac{1}{100}}$$

Darabkan -4 kali \frac{1}{100}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-\frac{1}{25}\left(-56\right)}}{2\times \frac{1}{100}}$$

Darabkan -\frac{1}{25} kali -56.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+\frac{56}{25}}}{2\times \frac{1}{100}}$$

Tambahkan 1 pada \frac{56}{25}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{\frac{81}{25}}}{2\times \frac{1}{100}}$$

Ambil punca kuasa dua \frac{81}{25}.

$$x=\frac{-1±\frac{9}{5}}{2\times \frac{1}{100}}$$

Darabkan 2 kali \frac{1}{100}.

$$x=\frac{-1±\frac{9}{5}}{\frac{1}{50}}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-1±\frac{9}{5}}{\frac{1}{50}} apabila ± ialah plus. Tambahkan -1 pada \frac{9}{5}.

$$x=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{50}}$$

Bahagikan \frac{4}{5} dengan \frac{1}{50} dengan mendarabkan \frac{4}{5} dengan salingan \frac{1}{50}.

$$x=40$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-1±\frac{9}{5}}{\frac{1}{50}} apabila ± ialah minus. Tolak \frac{9}{5} daripada -1.

$$x=-\frac{\frac{14}{5}}{\frac{1}{50}}$$

Bahagikan -\frac{14}{5} dengan \frac{1}{50} dengan mendarabkan -\frac{14}{5} dengan salingan \frac{1}{50}.

$$x=-140$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=40 x=-140$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{100}x^{2}+x-56=0$$

Tambahkan 56 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{100}x^{2}+x-56-\left(-56\right)=-\left(-56\right)$$

Menolak -56 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$\frac{1}{100}x^{2}+x=-\left(-56\right)$$

Tolak -56 daripada 0.

$$\frac{1}{100}x^{2}+x=56$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 100.

$$\frac{\frac{1}{100}x^{2}+x}{\frac{1}{100}}=\frac{56}{\frac{1}{100}}$$

Membahagi dengan \frac{1}{100} membuat asal pendaraban dengan \frac{1}{100}.

$$x^{2}+\frac{1}{\frac{1}{100}}x=\frac{56}{\frac{1}{100}}$$

Bahagikan 1 dengan \frac{1}{100} dengan mendarabkan 1 dengan salingan \frac{1}{100}.

$$x^{2}+100x=\frac{56}{\frac{1}{100}}$$

Bahagikan 56 dengan \frac{1}{100} dengan mendarabkan 56 dengan salingan \frac{1}{100}.

$$x^{2}+100x=5600$$

Bahagikan 100 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan 50. Kemudian tambahkan kuasa dua 50 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+100x+50^{2}=5600+50^{2}$$

Kuasa dua 50.

$$x^{2}+100x+2500=5600+2500$$

Tambahkan 5600 pada 2500.

$$x^{2}+100x+2500=8100$$

Faktor x^{2}+100x+2500. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+50\right)^{2}=8100$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+50\right)^{2}}=\sqrt{8100}$$

Permudahkan.

$$x+50=90 x+50=-90$$

Tolak 50 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=40 x=-140$$