Selesaikan p+5/p^2+p=1/p^2+p-p-6/p+1

$$\frac { p + 5 } { p ^ { 2 } + p } = \frac { 1 } { p ^ { 2 } + p } - \frac { p - 6 } { p + 1 }$$

Selesaikan untuk p

$$p=1$$

$$p=4$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran

Pemboleh ubah p tidak boleh sama dengan sebarang nilai -1,0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan p\left(p+1\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak p^{2}+p,p+1.

$$p+5=1-p\left(p-6\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab p dengan p-6.

$$p+5=1-\left(p^{2}-6p\right)$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan p^{2}-6p, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$p+5=1-p^{2}+6p$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah.

$$p+5-1=-p^{2}+6p$$

Tolak 1 daripada 5 untuk mendapatkan 4.

$$p+4=-p^{2}+6p$$

Tambahkan p^{2} pada kedua-dua belah.

$$p+4+p^{2}=6p$$

Tolak 6p daripada kedua-dua belah.

$$p+4+p^{2}-6p=0$$

Gabungkan p dan -6p untuk mendapatkan -5p.

$$-5p+4+p^{2}=0$$

Susun semula polinomial untuk meletakkannya dalam bentuk piawai. Letakkan terma mengikut tertib daripada kuasa tertinggi hingga terendah.

$$p^{2}-5p+4=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan p^{2}-5p+4 menggunakan formula p^{2}+\left(a+b\right)p+ab=\left(p+a\right)\left(p+b\right). Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-5 ab=4$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -5.

$$a=-4 b=-1$$

Tulis semula ungkapan \left(p+a\right)\left(p+b\right) yang difaktorkan dengan menggunakan nilai yang diperolehi.

$$\left(p-4\right)\left(p-1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan p-4=0 dan p-1=0.

$$p=4 p=1$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Pemboleh ubah p tidak boleh sama dengan sebarang nilai -1,0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan p\left(p+1\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak p^{2}+p,p+1.

$$p+5=1-p\left(p-6\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab p dengan p-6.

$$p+5=1-\left(p^{2}-6p\right)$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan p^{2}-6p, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$p+5=1-p^{2}+6p$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah.

$$p+5-1=-p^{2}+6p$$

Tolak 1 daripada 5 untuk mendapatkan 4.

$$p+4=-p^{2}+6p$$

Tambahkan p^{2} pada kedua-dua belah.

$$p+4+p^{2}=6p$$

Tolak 6p daripada kedua-dua belah.

$$p+4+p^{2}-6p=0$$

Gabungkan p dan -6p untuk mendapatkan -5p.

$$-5p+4+p^{2}=0$$

Susun semula polinomial untuk meletakkannya dalam bentuk piawai. Letakkan terma mengikut tertib daripada kuasa tertinggi hingga terendah.

$$p^{2}-5p+4=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai p^{2}+ap+bp+4. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-5 ab=1\times 4=4$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -5.

$$a=-4 b=-1$$

Tulis semula p^{2}-5p+4 sebagai \left(p^{2}-4p\right)+\left(-p+4\right).

$$\left(p^{2}-4p\right)+\left(-p+4\right)$$

Faktorkan p dalam kumpulan pertama dan -1 dalam kumpulan kedua.

$$p\left(p-4\right)-\left(p-4\right)$$

Faktorkan sebutan lazim p-4 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(p-4\right)\left(p-1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan p-4=0 dan p-1=0.

$$p=4 p=1$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Pemboleh ubah p tidak boleh sama dengan sebarang nilai -1,0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan p\left(p+1\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak p^{2}+p,p+1.

$$p+5=1-p\left(p-6\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab p dengan p-6.

$$p+5=1-\left(p^{2}-6p\right)$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan p^{2}-6p, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$p+5=1-p^{2}+6p$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah.

$$p+5-1=-p^{2}+6p$$

Tolak 1 daripada 5 untuk mendapatkan 4.

$$p+4=-p^{2}+6p$$

Tambahkan p^{2} pada kedua-dua belah.

$$p+4+p^{2}=6p$$

Tolak 6p daripada kedua-dua belah.

$$p+4+p^{2}-6p=0$$

Gabungkan p dan -6p untuk mendapatkan -5p.

$$-5p+4+p^{2}=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$p^{2}-5p+4=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, -5 dengan b dan 4 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2}$$

Kuasa dua -5.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2}$$

Tambahkan 25 pada -16.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua 9.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±3}{2}$$

Nombor bertentangan -5 ialah 5.

$$p=\frac{5±3}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan p=\frac{5±3}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan 5 pada 3.

$$p=\frac{8}{2}$$

Bahagikan 8 dengan 2.

$$p=4$$

Sekarang selesaikan persamaan p=\frac{5±3}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 3 daripada 5.

$$p=\frac{2}{2}$$

Bahagikan 2 dengan 2.

$$p=1$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$p=4 p=1$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Pemboleh ubah p tidak boleh sama dengan sebarang nilai -1,0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan p\left(p+1\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak p^{2}+p,p+1.

$$p+5=1-p\left(p-6\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab p dengan p-6.

$$p+5=1-\left(p^{2}-6p\right)$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan p^{2}-6p, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$p+5=1-p^{2}+6p$$

Tambahkan p^{2} pada kedua-dua belah.

$$p+5+p^{2}=1+6p$$

Tolak 6p daripada kedua-dua belah.

$$p+5+p^{2}-6p=1$$

Gabungkan p dan -6p untuk mendapatkan -5p.

$$-5p+5+p^{2}=1$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah.

$$-5p+p^{2}=1-5$$

Tolak 5 daripada 1 untuk mendapatkan -4.

$$-5p+p^{2}=-4$$

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$p^{2}-5p=-4$$

Bahagikan -5 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{5}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{5}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$p^{2}-5p+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{5}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$p^{2}-5p+\frac{25}{4}=-4+\frac{25}{4}$$

Tambahkan -4 pada \frac{25}{4}.

$$p^{2}-5p+\frac{25}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktor p^{2}-5p+\frac{25}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(p-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Permudahkan.

$$p-\frac{5}{2}=\frac{3}{2} p-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$p=4 p=1$$