Selesaikan f/11=g/33,text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } , \text { siendo } f + g = 40$$

Selesaikan untuk f, g

$$f=10$$

$$g=30$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 33, gandaan sepunya terkecil sebanyak 11,33.

$$3f=g$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Gantikan \frac{g}{3} dengan f dalam persamaan lain, f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Tambahkan \frac{g}{3} pada g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{4}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$g=30$$

Gantikan 30 dengan g dalam f=\frac{1}{3}g. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk f.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 30.

$$f=10$$

Sistem kini diselesaikan.

$$f=10,g=30$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 33, gandaan sepunya terkecil sebanyak 11,33.

$$3f=g$$

Tolak g daripada kedua-dua belah.

$$3f-g=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks f dan g.

$$f=10,g=30$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 33, gandaan sepunya terkecil sebanyak 11,33.

$$3f=g$$

Tolak g daripada kedua-dua belah.

$$3f-g=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Untuk menjadikan 3f dan f sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Permudahkan.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

Tolak 3f+3g=120 daripada 3f-g=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Tambahkan 3f pada -3f. Seubtan 3f dan -3f saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-g-3g=-120$$

Tambahkan -g pada -3g.

$$-4g=-120$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$g=30$$

Gantikan 30 dengan g dalam f+g=40. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk f.

$$f+30=40$$

Tolak 30 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$f=10$$

Sistem kini diselesaikan.

$$f=10,g=30$$