Selesaikan frac{6+sqrt{27}}{4-sqrt{3}}

$$\frac { 6 + \sqrt { 27 } } { 4 - \sqrt { 3 } }$$

Nilaikan

$$\frac{18\sqrt{3}+33}{13}\approx 4.936685734$$

Langkah Penyelesaian

Faktor 27=3^{2}\times 3. Tulis semula punca kuasa dua untuk hasil \sqrt{3^{2}\times 3} sebagai hasil punca kuasa \sqrt{3^{2}}\sqrt{3}. Ambil punca kuasa dua 3^{2}.

$$\frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}$$

Nisbahkan penyebut \frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}} dengan mendarabkan pembilang dan penyebut dengan 4+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{\left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}$$

Pertimbangkan \left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right). Pendaraban boleh diubah menjadi perbezaan kuasa dua dengan menggunakan peraturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Kuasa dua 4. Kuasa dua \sqrt{3}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{16-3}$$

Tolak 3 daripada 16 untuk mendapatkan 13.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{13}$$

Gunakan sifat agihan dengan mendarabkan setiap sebutan 6+3\sqrt{3} dengan setiap sebutan 4+\sqrt{3}.

$$\frac{24+6\sqrt{3}+12\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

Gabungkan 6\sqrt{3} dan 12\sqrt{3} untuk mendapatkan 18\sqrt{3}.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\times 3}{13}$$

Darabkan 3 dan 3 untuk mendapatkan 9.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+9}{13}$$

Tambahkan 24 dan 9 untuk dapatkan 33.

$$\frac{33+18\sqrt{3}}{13}$$