Selesaikan 45/x-2+15/x+4=14

$$\frac { 45 } { x - 2 } + \frac { 15 } { x + 4 } = 14$$

Selesaikan untuk x

$$x = \frac{3 \sqrt{109} + 8}{7} \approx 5.617274218$$

$$x=\frac{8-3\sqrt{109}}{7}\approx -3.331559932$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan sebarang nilai -4,2 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan \left(x-2\right)\left(x+4\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak x-2,x+4.

$$\left(x+4\right)\times 45+\left(x-2\right)\times 15=14\left(x-2\right)\left(x+4\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x+4 dengan 45.

$$45x+180+\left(x-2\right)\times 15=14\left(x-2\right)\left(x+4\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x-2 dengan 15.

$$45x+180+15x-30=14\left(x-2\right)\left(x+4\right)$$

Gabungkan 45x dan 15x untuk mendapatkan 60x.

$$60x+180-30=14\left(x-2\right)\left(x+4\right)$$

Tolak 30 daripada 180 untuk mendapatkan 150.

$$60x+150=14\left(x-2\right)\left(x+4\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 14 dengan x-2.

$$60x+150=\left(14x-28\right)\left(x+4\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 14x-28 dengan x+4 dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$60x+150=14x^{2}+28x-112$$

Tolak 14x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$60x+150-14x^{2}=28x-112$$

Tolak 28x daripada kedua-dua belah.

$$60x+150-14x^{2}-28x=-112$$

Gabungkan 60x dan -28x untuk mendapatkan 32x.

$$32x+150-14x^{2}=-112$$

Tambahkan 112 pada kedua-dua belah.

$$32x+150-14x^{2}+112=0$$

Tambahkan 150 dan 112 untuk dapatkan 262.

$$32x+262-14x^{2}=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-14x^{2}+32x+262=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -14 dengan a, 32 dengan b dan 262 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\left(-14\right)\times 262}}{2\left(-14\right)}$$

Kuasa dua 32.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\left(-14\right)\times 262}}{2\left(-14\right)}$$

Darabkan -4 kali -14.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024+56\times 262}}{2\left(-14\right)}$$

Darabkan 56 kali 262.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024+14672}}{2\left(-14\right)}$$

Tambahkan 1024 pada 14672.

$$x=\frac{-32±\sqrt{15696}}{2\left(-14\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 15696.

$$x=\frac{-32±12\sqrt{109}}{2\left(-14\right)}$$

Darabkan 2 kali -14.

$$x=\frac{-32±12\sqrt{109}}{-28}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-32±12\sqrt{109}}{-28} apabila ± ialah plus. Tambahkan -32 pada 12\sqrt{109}.

$$x=\frac{12\sqrt{109}-32}{-28}$$

Bahagikan -32+12\sqrt{109} dengan -28.

$$x=\frac{8-3\sqrt{109}}{7}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-32±12\sqrt{109}}{-28} apabila ± ialah minus. Tolak 12\sqrt{109} daripada -32.

$$x=\frac{-12\sqrt{109}-32}{-28}$$

Bahagikan -32-12\sqrt{109} dengan -28.

$$x=\frac{3\sqrt{109}+8}{7}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{8-3\sqrt{109}}{7} x=\frac{3\sqrt{109}+8}{7}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan sebarang nilai -4,2 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan \left(x-2\right)\left(x+4\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak x-2,x+4.

$$\left(x+4\right)\times 45+\left(x-2\right)\times 15=14\left(x-2\right)\left(x+4\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x+4 dengan 45.

$$45x+180+\left(x-2\right)\times 15=14\left(x-2\right)\left(x+4\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x-2 dengan 15.

$$45x+180+15x-30=14\left(x-2\right)\left(x+4\right)$$

Gabungkan 45x dan 15x untuk mendapatkan 60x.

$$60x+180-30=14\left(x-2\right)\left(x+4\right)$$

Tolak 30 daripada 180 untuk mendapatkan 150.

$$60x+150=14\left(x-2\right)\left(x+4\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 14 dengan x-2.

$$60x+150=\left(14x-28\right)\left(x+4\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 14x-28 dengan x+4 dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$60x+150=14x^{2}+28x-112$$

Tolak 14x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$60x+150-14x^{2}=28x-112$$

Tolak 28x daripada kedua-dua belah.

$$60x+150-14x^{2}-28x=-112$$

Gabungkan 60x dan -28x untuk mendapatkan 32x.

$$32x+150-14x^{2}=-112$$

Tolak 150 daripada kedua-dua belah.

$$32x-14x^{2}=-112-150$$

Tolak 150 daripada -112 untuk mendapatkan -262.

$$32x-14x^{2}=-262$$

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$-14x^{2}+32x=-262$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -14.

$$\frac{-14x^{2}+32x}{-14}=-\frac{262}{-14}$$

Membahagi dengan -14 membuat asal pendaraban dengan -14.

$$x^{2}+\frac{32}{-14}x=-\frac{262}{-14}$$

Kurangkan pecahan \frac{32}{-14} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}-\frac{16}{7}x=-\frac{262}{-14}$$

Kurangkan pecahan \frac{-262}{-14} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}-\frac{16}{7}x=\frac{131}{7}$$

Bahagikan -\frac{16}{7} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{8}{7}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{8}{7} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{16}{7}x+\left(-\frac{8}{7}\right)^{2}=\frac{131}{7}+\left(-\frac{8}{7}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{8}{7} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{16}{7}x+\frac{64}{49}=\frac{131}{7}+\frac{64}{49}$$

Tambahkan \frac{131}{7} pada \frac{64}{49} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{16}{7}x+\frac{64}{49}=\frac{981}{49}$$

Faktor x^{2}-\frac{16}{7}x+\frac{64}{49}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{7}\right)^{2}=\frac{981}{49}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{981}{49}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{8}{7}=\frac{3\sqrt{109}}{7} x-\frac{8}{7}=-\frac{3\sqrt{109}}{7}$$

Tambahkan \frac{8}{7} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{3\sqrt{109}+8}{7} x=\frac{8-3\sqrt{109}}{7}$$