Selesaikan frac{4-sqrt{2}}{4+sqrt{2}}-frac{4+sqrt{2}}{4-sqrt{2}}

$$\frac { 4 - \sqrt { 2 } } { 4 + \sqrt { 2 } } - \frac { 4 + \sqrt { 2 } } { 4 - \sqrt { 2 } }$$

Nilaikan

$$-\frac{8\sqrt{2}}{7}\approx -1.616244071$$

Langkah Penyelesaian Pendek

Nisbahkan penyebut \frac{4-\sqrt{2}}{4+\sqrt{2}} dengan mendarabkan pembilang dan penyebut dengan 4-\sqrt{2}.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Pertimbangkan \left(4+\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right). Pendaraban boleh diubah menjadi perbezaan kuasa dua dengan menggunakan peraturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Kuasa dua 4. Kuasa dua \sqrt{2}.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{16-2}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Tolak 2 daripada 16 untuk mendapatkan 14.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Darabkan 4-\sqrt{2} dan 4-\sqrt{2} untuk mendapatkan \left(4-\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)^{2}}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(4-\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{16-8\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Punca kuasa untuk \sqrt{2} ialah 2.

$$\frac{16-8\sqrt{2}+2}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Tambahkan 16 dan 2 untuk dapatkan 18.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Nisbahkan penyebut \frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}} dengan mendarabkan pembilang dan penyebut dengan 4+\sqrt{2}.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}$$

Pertimbangkan \left(4-\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right). Pendaraban boleh diubah menjadi perbezaan kuasa dua dengan menggunakan peraturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Kuasa dua 4. Kuasa dua \sqrt{2}.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{16-2}$$

Tolak 2 daripada 16 untuk mendapatkan 14.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{14}$$

Darabkan 4+\sqrt{2} dan 4+\sqrt{2} untuk mendapatkan \left(4+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)^{2}}{14}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(4+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{16+8\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{14}$$

Punca kuasa untuk \sqrt{2} ialah 2.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{16+8\sqrt{2}+2}{14}$$

Tambahkan 16 dan 2 untuk dapatkan 18.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{18+8\sqrt{2}}{14}$$

Oleh kerana \frac{18-8\sqrt{2}}{14} dan \frac{18+8\sqrt{2}}{14} mempunyai penyebut yang sama, tolakkan dengan menolakkan pengangka.

$$\frac{18-8\sqrt{2}-\left(18+8\sqrt{2}\right)}{14}$$

Lakukan pendaraban dalam 18-8\sqrt{2}-\left(18+8\sqrt{2}\right).

$$\frac{18-8\sqrt{2}-18-8\sqrt{2}}{14}$$

Lakukan pengiraan dalam 18-8\sqrt{2}-18-8\sqrt{2}.

$$\frac{-16\sqrt{2}}{14}$$

Bahagikan -16\sqrt{2} dengan 14 untuk mendapatkan -\frac{8}{7}\sqrt{2}.

$$-\frac{8}{7}\sqrt{2}$$