Selesaikan 3x/2+y=11;x+y/2=7

$$\frac { 3 x } { 2 } + y = 11 ; x + \frac { y } { 2 } = 7$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=6$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2.

$$3x+2y=22$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2.

$$2x+y=14$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+2y=22$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-2y+22$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+22\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -2y+22.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}$$

Gantikan \frac{-2y+22}{3} dengan x dalam persamaan lain, 2x+y=14.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}\right)+y=14$$

Darabkan 2 kali \frac{-2y+22}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{44}{3}+y=14$$

Tambahkan -\frac{4y}{3} pada y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{44}{3}=14$$

Tolak \frac{44}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{22}{3}$$

Darabkan -\frac{2}{3} kali 2.

$$x=\frac{-4+22}{3}$$

Tambahkan \frac{22}{3} pada -\frac{4}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=6,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2.

$$3x+2y=22$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2.

$$2x+y=14$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22+2\times 14\\2\times 22-3\times 14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=6,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2.

$$3x+2y=22$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 2.

$$2x+y=14$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Untuk menjadikan 3x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 22,3\times 2x+3y=3\times 14$$

Permudahkan.

$$6x+4y=44,6x+3y=42$$

Tolak 6x+3y=42 daripada 6x+4y=44 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+4y-3y=44-42$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y-3y=44-42$$

Tambahkan 4y pada -3y.

$$y=44-42$$

Tambahkan 44 pada -42.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 2x+y=14. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+2=14$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=6,y=2$$