Selesaikan 3/x^2+2x-8-4/x^2+4x-12=x-4/x^2+10x+24

$$\frac { 3 } { x ^ { 2 } + 2 x - 8 } - \frac { 4 } { x ^ { 2 } + 4 x - 12 } = \frac { x - 4 } { x ^ { 2 } + 10 x + 24 }$$

Selesaikan untuk x

$$x=3$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan sebarang nilai -6,-4,2 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan \left(x-2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak x^{2}+2x-8,x^{2}+4x-12,x^{2}+10x+24.

$$\left(x+6\right)\times 3-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x+6 dengan 3.

$$3x+18-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x+4 dengan 4.

$$3x+18-\left(4x+16\right)=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 4x+16, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$3x+18-4x-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Gabungkan 3x dan -4x untuk mendapatkan -x.

$$-x+18-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Tolak 16 daripada 18 untuk mendapatkan 2.

$$-x+2=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x-2 dengan x-4 dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$-x+2=x^{2}-6x+8$$

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$-x+2-x^{2}=-6x+8$$

Tambahkan 6x pada kedua-dua belah.

$$-x+2-x^{2}+6x=8$$

Gabungkan -x dan 6x untuk mendapatkan 5x.

$$5x+2-x^{2}=8$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah.

$$5x+2-x^{2}-8=0$$

Tolak 8 daripada 2 untuk mendapatkan -6.

$$5x-6-x^{2}=0$$

Susun semula polinomial untuk meletakkannya dalam bentuk piawai. Letakkan terma mengikut tertib daripada kuasa tertinggi hingga terendah.

$$-x^{2}+5x-6=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai -x^{2}+ax+bx-6. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=5 ab=-\left(-6\right)=6$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 6.

$$1,6 2,3$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+6=7 2+3=5$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 5.

$$a=3 b=2$$

Tulis semula -x^{2}+5x-6 sebagai \left(-x^{2}+3x\right)+\left(2x-6\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(2x-6\right)$$

Faktorkan -x dalam kumpulan pertama dan 2 dalam kumpulan kedua.

$$-x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-3\right)\left(-x+2\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-3=0 dan -x+2=0.

$$x=3 x=2$$

Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan 2.

$$x=3$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan sebarang nilai -6,-4,2 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan \left(x-2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak x^{2}+2x-8,x^{2}+4x-12,x^{2}+10x+24.

$$\left(x+6\right)\times 3-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x+6 dengan 3.

$$3x+18-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x+4 dengan 4.

$$3x+18-\left(4x+16\right)=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 4x+16, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$3x+18-4x-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Gabungkan 3x dan -4x untuk mendapatkan -x.

$$-x+18-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Tolak 16 daripada 18 untuk mendapatkan 2.

$$-x+2=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x-2 dengan x-4 dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$-x+2=x^{2}-6x+8$$

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$-x+2-x^{2}=-6x+8$$

Tambahkan 6x pada kedua-dua belah.

$$-x+2-x^{2}+6x=8$$

Gabungkan -x dan 6x untuk mendapatkan 5x.

$$5x+2-x^{2}=8$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah.

$$5x+2-x^{2}-8=0$$

Tolak 8 daripada 2 untuk mendapatkan -6.

$$5x-6-x^{2}=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-x^{2}+5x-6=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -1 dengan a, 5 dengan b dan -6 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kuasa dua 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan -4 kali -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 4 kali -6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\left(-1\right)}$$

Tambahkan 25 pada -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\left(-1\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 1.

$$x=\frac{-5±1}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 2 kali -1.

$$x=\frac{-5±1}{-2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-5±1}{-2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -5 pada 1.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Bahagikan -4 dengan -2.

$$x=2$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-5±1}{-2} apabila ± ialah minus. Tolak 1 daripada -5.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Bahagikan -6 dengan -2.

$$x=3$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=2 x=3$$

Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan 2.

$$x=3$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan sebarang nilai -6,-4,2 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan \left(x-2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak x^{2}+2x-8,x^{2}+4x-12,x^{2}+10x+24.

$$\left(x+6\right)\times 3-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x+6 dengan 3.

$$3x+18-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x+4 dengan 4.

$$3x+18-\left(4x+16\right)=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 4x+16, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$3x+18-4x-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Gabungkan 3x dan -4x untuk mendapatkan -x.

$$-x+18-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Tolak 16 daripada 18 untuk mendapatkan 2.

$$-x+2=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x-2 dengan x-4 dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$-x+2=x^{2}-6x+8$$

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$-x+2-x^{2}=-6x+8$$

Tambahkan 6x pada kedua-dua belah.

$$-x+2-x^{2}+6x=8$$

Gabungkan -x dan 6x untuk mendapatkan 5x.

$$5x+2-x^{2}=8$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah.

$$5x-x^{2}=8-2$$

Tolak 2 daripada 8 untuk mendapatkan 6.

$$5x-x^{2}=6$$

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+5x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=\frac{6}{-1}$$

Membahagi dengan -1 membuat asal pendaraban dengan -1.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=\frac{6}{-1}$$

Bahagikan 5 dengan -1.

$$x^{2}-5x=\frac{6}{-1}$$

Bahagikan 6 dengan -1.

$$x^{2}-5x=-6$$

Bahagikan -5 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{5}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{5}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-6+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{5}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-6+\frac{25}{4}$$

Tambahkan -6 pada \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{1}{4}$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=3 x=2$$

Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan 2.

$$x=3$$