Selesaikan 3/x+1+1/x-1=1

$$\frac { 3 } { x + 1 } + \frac { 1 } { x - 1 } = 1$$

Selesaikan untuk x

$$x=\sqrt{3}+2\approx 3.732050808$$

$$x=2-\sqrt{3}\approx 0.267949192$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan sebarang nilai -1,1 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan \left(x-1\right)\left(x+1\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\times 3+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x-1 dengan 3.

$$3x-3+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Gabungkan 3x dan x untuk mendapatkan 4x.

$$4x-3+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Tambahkan -3 dan 1 untuk dapatkan -2.

$$4x-2=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Pertimbangkan \left(x-1\right)\left(x+1\right). Pendaraban boleh diubah menjadi perbezaan kuasa dua dengan menggunakan peraturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kuasa dua 1.

$$4x-2=x^{2}-1$$

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$4x-2-x^{2}=-1$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah.

$$4x-2-x^{2}+1=0$$

Tambahkan -2 dan 1 untuk dapatkan -1.

$$4x-1-x^{2}=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-x^{2}+4x-1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -1 dengan a, 4 dengan b dan -1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kuasa dua 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan -4 kali -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 4 kali -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4}}{2\left(-1\right)}$$

Tambahkan 16 pada -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{12}}{2\left(-1\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 12.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 2 kali -1.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}}{-2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-4±2\sqrt{3}}{-2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -4 pada 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}-4}{-2}$$

Bahagikan -4+2\sqrt{3} dengan -2.

$$x=2-\sqrt{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-4±2\sqrt{3}}{-2} apabila ± ialah minus. Tolak 2\sqrt{3} daripada -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}-4}{-2}$$

Bahagikan -4-2\sqrt{3} dengan -2.

$$x=\sqrt{3}+2$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=2-\sqrt{3} x=\sqrt{3}+2$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan sebarang nilai -1,1 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan \left(x-1\right)\left(x+1\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\times 3+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x-1 dengan 3.

$$3x-3+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Gabungkan 3x dan x untuk mendapatkan 4x.

$$4x-3+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Tambahkan -3 dan 1 untuk dapatkan -2.

$$4x-2=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Pertimbangkan \left(x-1\right)\left(x+1\right). Pendaraban boleh diubah menjadi perbezaan kuasa dua dengan menggunakan peraturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kuasa dua 1.

$$4x-2=x^{2}-1$$

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$4x-2-x^{2}=-1$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah.

$$4x-x^{2}=-1+2$$

Tambahkan -1 dan 2 untuk dapatkan 1.

$$4x-x^{2}=1$$

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+4x=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$\frac{-x^{2}+4x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Membahagi dengan -1 membuat asal pendaraban dengan -1.

$$x^{2}+\frac{4}{-1}x=\frac{1}{-1}$$

Bahagikan 4 dengan -1.

$$x^{2}-4x=\frac{1}{-1}$$

Bahagikan 1 dengan -1.

$$x^{2}-4x=-1$$

Bahagikan -4 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -2. Kemudian tambahkan kuasa dua -2 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-1+\left(-2\right)^{2}$$

Kuasa dua -2.

$$x^{2}-4x+4=-1+4$$

Tambahkan -1 pada 4.

$$x^{2}-4x+4=3$$

Faktor x^{2}-4x+4. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=3$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

Permudahkan.

$$x-2=\sqrt{3} x-2=-\sqrt{3}$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$