Selesaikan frac{3sqrt{5}-2}{3sqrt{5}+2}

$$\frac { 3 \sqrt { 5 } - 2 } { 3 \sqrt { 5 } + 2 }$$

Nilaikan

$$\frac{49-12\sqrt{5}}{41}\approx 0.540663031$$

Langkah Penyelesaian

Nisbahkan penyebut \frac{3\sqrt{5}-2}{3\sqrt{5}+2} dengan mendarabkan pembilang dan penyebut dengan 3\sqrt{5}-2.

$$\frac{\left(3\sqrt{5}-2\right)\left(3\sqrt{5}-2\right)}{\left(3\sqrt{5}+2\right)\left(3\sqrt{5}-2\right)}$$

Pertimbangkan \left(3\sqrt{5}+2\right)\left(3\sqrt{5}-2\right). Pendaraban boleh diubah menjadi perbezaan kuasa dua dengan menggunakan peraturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(3\sqrt{5}-2\right)\left(3\sqrt{5}-2\right)}{\left(3\sqrt{5}\right)^{2}-2^{2}}$$

Darabkan 3\sqrt{5}-2 dan 3\sqrt{5}-2 untuk mendapatkan \left(3\sqrt{5}-2\right)^{2}.

$$\frac{\left(3\sqrt{5}-2\right)^{2}}{\left(3\sqrt{5}\right)^{2}-2^{2}}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(3\sqrt{5}-2\right)^{2}.

$$\frac{9\left(\sqrt{5}\right)^{2}-12\sqrt{5}+4}{\left(3\sqrt{5}\right)^{2}-2^{2}}$$

Punca kuasa untuk \sqrt{5} ialah 5.

$$\frac{9\times 5-12\sqrt{5}+4}{\left(3\sqrt{5}\right)^{2}-2^{2}}$$

Darabkan 9 dan 5 untuk mendapatkan 45.

$$\frac{45-12\sqrt{5}+4}{\left(3\sqrt{5}\right)^{2}-2^{2}}$$

Tambahkan 45 dan 4 untuk dapatkan 49.

$$\frac{49-12\sqrt{5}}{\left(3\sqrt{5}\right)^{2}-2^{2}}$$

Kembangkan \left(3\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{49-12\sqrt{5}}{3^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2^{2}}$$

Kira 3 dikuasakan 2 dan dapatkan 9.

$$\frac{49-12\sqrt{5}}{9\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2^{2}}$$

Punca kuasa untuk \sqrt{5} ialah 5.

$$\frac{49-12\sqrt{5}}{9\times 5-2^{2}}$$

Darabkan 9 dan 5 untuk mendapatkan 45.

$$\frac{49-12\sqrt{5}}{45-2^{2}}$$

Kira 2 dikuasakan 2 dan dapatkan 4.

$$\frac{49-12\sqrt{5}}{45-4}$$

Tolak 4 daripada 45 untuk mendapatkan 41.

$$\frac{49-12\sqrt{5}}{41}$$