Selesaikan 257/4x^2-4x-65=0

$$\frac { 257 } { 4 } x ^ { 2 } - 4 x - 65 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x = \frac{2 \sqrt{16721} + 8}{257} \approx 1.037429617$$

$$x=\frac{8-2\sqrt{16721}}{257}\approx -0.975172807$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$\frac{257}{4}x^{2}-4x-65=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan \frac{257}{4} dengan a, -4 dengan b dan -65 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times \frac{257}{4}\left(-65\right)}}{2\times \frac{257}{4}}$$

Kuasa dua -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times \frac{257}{4}\left(-65\right)}}{2\times \frac{257}{4}}$$

Darabkan -4 kali \frac{257}{4}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-257\left(-65\right)}}{2\times \frac{257}{4}}$$

Darabkan -257 kali -65.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+16705}}{2\times \frac{257}{4}}$$

Tambahkan 16 pada 16705.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16721}}{2\times \frac{257}{4}}$$

Nombor bertentangan -4 ialah 4.

$$x=\frac{4±\sqrt{16721}}{2\times \frac{257}{4}}$$

Darabkan 2 kali \frac{257}{4}.

$$x=\frac{4±\sqrt{16721}}{\frac{257}{2}}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{4±\sqrt{16721}}{\frac{257}{2}} apabila ± ialah plus. Tambahkan 4 pada \sqrt{16721}.

$$x=\frac{\sqrt{16721}+4}{\frac{257}{2}}$$

Bahagikan 4+\sqrt{16721} dengan \frac{257}{2} dengan mendarabkan 4+\sqrt{16721} dengan salingan \frac{257}{2}.

$$x=\frac{2\sqrt{16721}+8}{257}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{4±\sqrt{16721}}{\frac{257}{2}} apabila ± ialah minus. Tolak \sqrt{16721} daripada 4.

$$x=\frac{4-\sqrt{16721}}{\frac{257}{2}}$$

Bahagikan 4-\sqrt{16721} dengan \frac{257}{2} dengan mendarabkan 4-\sqrt{16721} dengan salingan \frac{257}{2}.

$$x=\frac{8-2\sqrt{16721}}{257}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{2\sqrt{16721}+8}{257} x=\frac{8-2\sqrt{16721}}{257}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$\frac{257}{4}x^{2}-4x-65=0$$

Tambahkan 65 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{257}{4}x^{2}-4x-65-\left(-65\right)=-\left(-65\right)$$

Menolak -65 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$\frac{257}{4}x^{2}-4x=-\left(-65\right)$$

Tolak -65 daripada 0.

$$\frac{257}{4}x^{2}-4x=65$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{257}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$\frac{\frac{257}{4}x^{2}-4x}{\frac{257}{4}}=\frac{65}{\frac{257}{4}}$$

Membahagi dengan \frac{257}{4} membuat asal pendaraban dengan \frac{257}{4}.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{\frac{257}{4}}\right)x=\frac{65}{\frac{257}{4}}$$

Bahagikan -4 dengan \frac{257}{4} dengan mendarabkan -4 dengan salingan \frac{257}{4}.

$$x^{2}-\frac{16}{257}x=\frac{65}{\frac{257}{4}}$$

Bahagikan 65 dengan \frac{257}{4} dengan mendarabkan 65 dengan salingan \frac{257}{4}.

$$x^{2}-\frac{16}{257}x=\frac{260}{257}$$

Bahagikan -\frac{16}{257} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{8}{257}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{8}{257} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{16}{257}x+\left(-\frac{8}{257}\right)^{2}=\frac{260}{257}+\left(-\frac{8}{257}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{8}{257} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{16}{257}x+\frac{64}{66049}=\frac{260}{257}+\frac{64}{66049}$$

Tambahkan \frac{260}{257} pada \frac{64}{66049} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{16}{257}x+\frac{64}{66049}=\frac{66884}{66049}$$

Faktor x^{2}-\frac{16}{257}x+\frac{64}{66049}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{257}\right)^{2}=\frac{66884}{66049}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{257}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{66884}{66049}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{8}{257}=\frac{2\sqrt{16721}}{257} x-\frac{8}{257}=-\frac{2\sqrt{16721}}{257}$$

Tambahkan \frac{8}{257} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{2\sqrt{16721}+8}{257} x=\frac{8-2\sqrt{16721}}{257}$$