Selesaikan 2/sqrt{2-2}+frac{sqrt{2}+1}{sqrt{2}-1}-frac{sqrt{32}}{2}

$$\frac { 2 } { \sqrt { 2 } - 2 } + \frac { \sqrt { 2 } + 1 } { \sqrt { 2 } - 1 } - \frac { \sqrt { 32 } } { 2 }$$

Nilaikan

$$1-\sqrt{2}\approx -0.414213562$$

Langkah Penyelesaian

Nisbahkan penyebut \frac{2}{\sqrt{2}-2} dengan mendarabkan pembilang dan penyebut dengan \sqrt{2}+2.

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{\left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}+2\right)}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Pertimbangkan \left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}+2\right). Pendaraban boleh diubah menjadi perbezaan kuasa dua dengan menggunakan peraturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Kuasa dua \sqrt{2}. Kuasa dua 2.

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{2-4}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Tolak 4 daripada 2 untuk mendapatkan -2.

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{-2}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Batalkan -2 dan -2.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Nisbahkan penyebut \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} dengan mendarabkan pembilang dan penyebut dengan \sqrt{2}+1.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Pertimbangkan \left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right). Pendaraban boleh diubah menjadi perbezaan kuasa dua dengan menggunakan peraturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1^{2}}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Kuasa dua \sqrt{2}. Kuasa dua 1.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{2-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Tolak 1 daripada 2 untuk mendapatkan 1.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Apa-apa sahaja yang dibahagikan dengan satu menjadi nombor tersebut.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Darabkan \sqrt{2}+1 dan \sqrt{2}+1 untuk mendapatkan \left(\sqrt{2}+1\right)^{2}.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Faktor 32=4^{2}\times 2. Tulis semula punca kuasa dua untuk hasil \sqrt{4^{2}\times 2} sebagai hasil punca kuasa \sqrt{4^{2}}\sqrt{2}. Ambil punca kuasa dua 4^{2}.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-\frac{4\sqrt{2}}{2}$$

Bahagikan 4\sqrt{2} dengan 2 untuk mendapatkan 2\sqrt{2}.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\sqrt{2}$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan \sqrt{2}+2, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$-\sqrt{2}-2+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\sqrt{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(\sqrt{2}+1\right)^{2}.

$$-\sqrt{2}-2+\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}$$

Punca kuasa untuk \sqrt{2} ialah 2.

$$-\sqrt{2}-2+2+2\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}$$

Tambahkan 2 dan 1 untuk dapatkan 3.

$$-\sqrt{2}-2+3+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}$$

Tambahkan -2 dan 3 untuk dapatkan 1.

$$-\sqrt{2}+1+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}$$

Gabungkan -\sqrt{2} dan 2\sqrt{2} untuk mendapatkan \sqrt{2}.

$$\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}$$

Gabungkan \sqrt{2} dan -2\sqrt{2} untuk mendapatkan -\sqrt{2}.

$$-\sqrt{2}+1$$

Faktor

$$1-\sqrt{2}$$