Selesaikan 13/4x^2-4x-5=0

$$\frac { 13 } { 4 } x ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{10}{13}\approx -0.769230769$$

$$x=2$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x-5=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan \frac{13}{4} dengan a, -4 dengan b dan -5 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times \frac{13}{4}\left(-5\right)}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Kuasa dua -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times \frac{13}{4}\left(-5\right)}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Darabkan -4 kali \frac{13}{4}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-13\left(-5\right)}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Darabkan -13 kali -5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+65}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Tambahkan 16 pada 65.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{81}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Ambil punca kuasa dua 81.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±9}{2\times \frac{13}{4}}$$

Nombor bertentangan -4 ialah 4.

$$x=\frac{4±9}{2\times \frac{13}{4}}$$

Darabkan 2 kali \frac{13}{4}.

$$x=\frac{4±9}{\frac{13}{2}}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{4±9}{\frac{13}{2}} apabila ± ialah plus. Tambahkan 4 pada 9.

$$x=\frac{13}{\frac{13}{2}}$$

Bahagikan 13 dengan \frac{13}{2} dengan mendarabkan 13 dengan salingan \frac{13}{2}.

$$x=2$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{4±9}{\frac{13}{2}} apabila ± ialah minus. Tolak 9 daripada 4.

$$x=-\frac{5}{\frac{13}{2}}$$

Bahagikan -5 dengan \frac{13}{2} dengan mendarabkan -5 dengan salingan \frac{13}{2}.

$$x=-\frac{10}{13}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=2 x=-\frac{10}{13}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x-5=0$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Menolak -5 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x=-\left(-5\right)$$

Tolak -5 daripada 0.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x=5$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{13}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$\frac{\frac{13}{4}x^{2}-4x}{\frac{13}{4}}=\frac{5}{\frac{13}{4}}$$

Membahagi dengan \frac{13}{4} membuat asal pendaraban dengan \frac{13}{4}.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{\frac{13}{4}}\right)x=\frac{5}{\frac{13}{4}}$$

Bahagikan -4 dengan \frac{13}{4} dengan mendarabkan -4 dengan salingan \frac{13}{4}.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x=\frac{5}{\frac{13}{4}}$$

Bahagikan 5 dengan \frac{13}{4} dengan mendarabkan 5 dengan salingan \frac{13}{4}.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x=\frac{20}{13}$$

Bahagikan -\frac{16}{13} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{8}{13}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{8}{13} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x+\left(-\frac{8}{13}\right)^{2}=\frac{20}{13}+\left(-\frac{8}{13}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{8}{13} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x+\frac{64}{169}=\frac{20}{13}+\frac{64}{169}$$

Tambahkan \frac{20}{13} pada \frac{64}{169} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x+\frac{64}{169}=\frac{324}{169}$$

Faktor x^{2}-\frac{16}{13}x+\frac{64}{169}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{13}\right)^{2}=\frac{324}{169}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{324}{169}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{8}{13}=\frac{18}{13} x-\frac{8}{13}=-\frac{18}{13}$$

Tambahkan \frac{8}{13} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=2 x=-\frac{10}{13}$$