Selesaikan 1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21}

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

Selesaikan untuk x

$$x=-1$$

Langkah Penyelesaian

Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan sebarang nilai -8,-5,-2,1 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21.

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 21 dengan x+5.

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 21x+105 dengan x+8 dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 21 dengan x-1.

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 21x-21 dengan x+8 dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Gabungkan 21x^{2} dan 21x^{2} untuk mendapatkan 42x^{2}.

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Gabungkan 273x dan 147x untuk mendapatkan 420x.

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Tolak 168 daripada 840 untuk mendapatkan 672.

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 21 dengan x+2.

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 21x+42 dengan x-1 dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Gabungkan 42x^{2} dan 21x^{2} untuk mendapatkan 63x^{2}.

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Gabungkan 420x dan 21x untuk mendapatkan 441x.

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Tolak 42 daripada 672 untuk mendapatkan 630.

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 7 dengan x+2.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 7x+14 dengan x+5 dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 7x^{2}+49x+70 dengan x+8 dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Darabkan 21 dan -\frac{1}{21} untuk mendapatkan -1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -1 dengan x-1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -x+1 dengan x+2 dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -x^{2}-x+2 dengan x+5 dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -x^{3}-6x^{2}-3x+10 dengan x+8 dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

Gabungkan 7x^{3} dan -14x^{3} untuk mendapatkan -7x^{3}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

Gabungkan 105x^{2} dan -51x^{2} untuk mendapatkan 54x^{2}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

Gabungkan 462x dan -14x untuk mendapatkan 448x.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

Tambahkan 560 dan 80 untuk dapatkan 640.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Tambahkan 7x^{3} pada kedua-dua belah.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Tolak 54x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

Gabungkan 63x^{2} dan -54x^{2} untuk mendapatkan 9x^{2}.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

Tolak 448x daripada kedua-dua belah.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

Gabungkan 441x dan -448x untuk mendapatkan -7x.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

Tolak 640 daripada kedua-dua belah.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

Tolak 640 daripada 630 untuk mendapatkan -10.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

Tambahkan x^{4} pada kedua-dua belah.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

Susun semula persamaan untuk meletakkannya dalam bentuk piawai. Letakkan sebutan mengikut tertib daripada kuasa tertinggi hingga terendah.

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar -10 dan q membahagikan pekali pelopor 1. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=1$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 dengan x-1 untuk mendapatkan x^{3}+8x^{2}+17x+10. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar 10 dan q membahagikan pekali pelopor 1. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=-1$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan x^{3}+8x^{2}+17x+10 dengan x+1 untuk mendapatkan x^{2}+7x+10. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 1 untuk a, 7 untuk b dan 10 untuk c dalam formula kuadratik.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Lakukan pengiraan.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Selesaikan persamaan x^{2}+7x+10=0 apabila ± adalah tambah dan apabila ± adalah tolak.

$$x=-5 x=-2$$

Alih keluar nilai yang tidak boleh sama dengan pemboleh ubah.

$$x=-1$$

Senaraikan semua penyelesaian yang ditemui.

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan sebarang nilai 1,-5,-2.

$$x=-1$$