Selesaikan 1/x+40+1/x=1/48

$$\frac { 1 } { x + 40 } + \frac { 1 } { x } = \frac { 1 } { 48 }$$

Selesaikan untuk x

$$x=-24$$

$$x=80$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan sebarang nilai -40,0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 48x\left(x+40\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak x+40,x,48.

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

Gabungkan 48x dan 48x untuk mendapatkan 96x.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x dengan x+40.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

Tolak 40x daripada kedua-dua belah.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

Gabungkan 96x dan -40x untuk mendapatkan 56x.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

Susun semula polinomial untuk meletakkannya dalam bentuk piawai. Letakkan terma mengikut tertib daripada kuasa tertinggi hingga terendah.

$$-x^{2}+56x+1920=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai -x^{2}+ax+bx+1920. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=56 ab=-1920=-1920$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -1920.

$$-1,1920 -2,960 -3,640 -4,480 -5,384 -6,320 -8,240 -10,192 -12,160 -15,128 -16,120 -20,96 -24,80 -30,64 -32,60 -40,48$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+1920=1919 -2+960=958 -3+640=637 -4+480=476 -5+384=379 -6+320=314 -8+240=232 -10+192=182 -12+160=148 -15+128=113 -16+120=104 -20+96=76 -24+80=56 -30+64=34 -32+60=28 -40+48=8$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 56.

$$a=80 b=-24$$

Tulis semula -x^{2}+56x+1920 sebagai \left(-x^{2}+80x\right)+\left(-24x+1920\right).

$$\left(-x^{2}+80x\right)+\left(-24x+1920\right)$$

Faktorkan -x dalam kumpulan pertama dan -24 dalam kumpulan kedua.

$$-x\left(x-80\right)-24\left(x-80\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-80 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-80\right)\left(-x-24\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-80=0 dan -x-24=0.

$$x=80 x=-24$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan sebarang nilai -40,0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 48x\left(x+40\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak x+40,x,48.

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

Gabungkan 48x dan 48x untuk mendapatkan 96x.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x dengan x+40.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

Tolak 40x daripada kedua-dua belah.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

Gabungkan 96x dan -40x untuk mendapatkan 56x.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-x^{2}+56x+1920=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -1 dengan a, 56 dengan b dan 1920 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-56±\sqrt{56^{2}-4\left(-1\right)\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

Kuasa dua 56.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136-4\left(-1\right)\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan -4 kali -1.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136+4\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 4 kali 1920.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136+7680}}{2\left(-1\right)}$$

Tambahkan 3136 pada 7680.

$$x=\frac{-56±\sqrt{10816}}{2\left(-1\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 10816.

$$x=\frac{-56±104}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 2 kali -1.

$$x=\frac{-56±104}{-2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-56±104}{-2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -56 pada 104.

$$x=\frac{48}{-2}$$

Bahagikan 48 dengan -2.

$$x=-24$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-56±104}{-2} apabila ± ialah minus. Tolak 104 daripada -56.

$$x=-\frac{160}{-2}$$

Bahagikan -160 dengan -2.

$$x=80$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=-24 x=80$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan sebarang nilai -40,0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 48x\left(x+40\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak x+40,x,48.

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

Gabungkan 48x dan 48x untuk mendapatkan 96x.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x dengan x+40.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

Tolak 40x daripada kedua-dua belah.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

Gabungkan 96x dan -40x untuk mendapatkan 56x.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

Tolak 1920 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$56x-x^{2}=-1920$$

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+56x=-1920$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$\frac{-x^{2}+56x}{-1}=-\frac{1920}{-1}$$

Membahagi dengan -1 membuat asal pendaraban dengan -1.

$$x^{2}+\frac{56}{-1}x=-\frac{1920}{-1}$$

Bahagikan 56 dengan -1.

$$x^{2}-56x=-\frac{1920}{-1}$$

Bahagikan -1920 dengan -1.

$$x^{2}-56x=1920$$

Bahagikan -56 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -28. Kemudian tambahkan kuasa dua -28 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-56x+\left(-28\right)^{2}=1920+\left(-28\right)^{2}$$

Kuasa dua -28.

$$x^{2}-56x+784=1920+784$$

Tambahkan 1920 pada 784.

$$x^{2}-56x+784=2704$$

Faktor x^{2}-56x+784. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-28\right)^{2}=2704$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-28\right)^{2}}=\sqrt{2704}$$

Permudahkan.

$$x-28=52 x-28=-52$$

Tambahkan 28 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=80 x=-24$$