Selesaikan 1/x+1+2/x-1=x^2+2x/x^2-1

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 2 } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }$$

Selesaikan untuk x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.618033989$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan sebarang nilai -1,1 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan \left(x-1\right)\left(x+1\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x+1 dengan 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Gabungkan x dan 2x untuk mendapatkan 3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Tambahkan -1 dan 2 untuk dapatkan 1.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Gabungkan 3x dan -2x untuk mendapatkan x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -1 dengan a, 1 dengan b dan 1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kuasa dua 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan -4 kali -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Tambahkan 1 pada 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 2 kali -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -1 pada \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Bahagikan -1+\sqrt{5} dengan -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} apabila ± ialah minus. Tolak \sqrt{5} daripada -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Bahagikan -1-\sqrt{5} dengan -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan sebarang nilai -1,1 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan \left(x-1\right)\left(x+1\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x+1 dengan 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Gabungkan x dan 2x untuk mendapatkan 3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Tambahkan -1 dan 2 untuk dapatkan 1.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Gabungkan 3x dan -2x untuk mendapatkan x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$x-x^{2}=-1$$

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Membahagi dengan -1 membuat asal pendaraban dengan -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Bahagikan 1 dengan -1.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

Bahagikan -1 dengan -1.

$$x^{2}-x=1$$

Bahagikan -1 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{1}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{1}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Tambahkan 1 pada \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$