Selesaikan 1/q^2+1/q+1=7

$$\frac { 1 } { q ^ { 2 } } + \frac { 1 } { q } + 1 = 7$$

Selesaikan untuk q

$$q=\frac{1}{2}=0.5$$

$$q=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Pemboleh ubah q tidak boleh sama dengan 0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan q^{2}, gandaan sepunya terkecil sebanyak q^{2},q.

$$1+q+q^{2}=7q^{2}$$

Tolak 7q^{2} daripada kedua-dua belah.

$$1+q+q^{2}-7q^{2}=0$$

Gabungkan q^{2} dan -7q^{2} untuk mendapatkan -6q^{2}.

$$1+q-6q^{2}=0$$

Susun semula polinomial untuk meletakkannya dalam bentuk piawai. Letakkan terma mengikut tertib daripada kuasa tertinggi hingga terendah.

$$-6q^{2}+q+1=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai -6q^{2}+aq+bq+1. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=1 ab=-6=-6$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -6.

$$-1,6 -2,3$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 1.

$$a=3 b=-2$$

Tulis semula -6q^{2}+q+1 sebagai \left(-6q^{2}+3q\right)+\left(-2q+1\right).

$$\left(-6q^{2}+3q\right)+\left(-2q+1\right)$$

Faktorkan -3q dalam kumpulan pertama dan -1 dalam kumpulan kedua.

$$-3q\left(2q-1\right)-\left(2q-1\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 2q-1 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2q-1\right)\left(-3q-1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 2q-1=0 dan -3q-1=0.

$$q=\frac{1}{2} q=-\frac{1}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Pemboleh ubah q tidak boleh sama dengan 0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan q^{2}, gandaan sepunya terkecil sebanyak q^{2},q.

$$1+q+q^{2}=7q^{2}$$

Tolak 7q^{2} daripada kedua-dua belah.

$$1+q+q^{2}-7q^{2}=0$$

Gabungkan q^{2} dan -7q^{2} untuk mendapatkan -6q^{2}.

$$1+q-6q^{2}=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-6q^{2}+q+1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -6 dengan a, 1 dengan b dan 1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-6\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Kuasa dua 1.

$$q=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-6\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Darabkan -4 kali -6.

$$q=\frac{-1±\sqrt{1+24}}{2\left(-6\right)}$$

Tambahkan 1 pada 24.

$$q=\frac{-1±\sqrt{25}}{2\left(-6\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 25.

$$q=\frac{-1±5}{2\left(-6\right)}$$

Darabkan 2 kali -6.

$$q=\frac{-1±5}{-12}$$

Sekarang selesaikan persamaan q=\frac{-1±5}{-12} apabila ± ialah plus. Tambahkan -1 pada 5.

$$q=\frac{4}{-12}$$

Kurangkan pecahan \frac{4}{-12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$q=-\frac{1}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan q=\frac{-1±5}{-12} apabila ± ialah minus. Tolak 5 daripada -1.

$$q=-\frac{6}{-12}$$

Kurangkan pecahan \frac{-6}{-12} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$q=\frac{1}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$q=-\frac{1}{3} q=\frac{1}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Pemboleh ubah q tidak boleh sama dengan 0 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan q^{2}, gandaan sepunya terkecil sebanyak q^{2},q.

$$1+q+q^{2}=7q^{2}$$

Tolak 7q^{2} daripada kedua-dua belah.

$$1+q+q^{2}-7q^{2}=0$$

Gabungkan q^{2} dan -7q^{2} untuk mendapatkan -6q^{2}.

$$1+q-6q^{2}=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$q-6q^{2}=-1$$

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$-6q^{2}+q=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$\frac{-6q^{2}+q}{-6}=-\frac{1}{-6}$$

Membahagi dengan -6 membuat asal pendaraban dengan -6.

$$q^{2}+\frac{1}{-6}q=-\frac{1}{-6}$$

Bahagikan 1 dengan -6.

$$q^{2}-\frac{1}{6}q=-\frac{1}{-6}$$

Bahagikan -1 dengan -6.

$$q^{2}-\frac{1}{6}q=\frac{1}{6}$$

Bahagikan -\frac{1}{6} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{12}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{1}{12} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$q^{2}-\frac{1}{6}q+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{1}{12} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$q^{2}-\frac{1}{6}q+\frac{1}{144}=\frac{1}{6}+\frac{1}{144}$$

Tambahkan \frac{1}{6} pada \frac{1}{144} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$q^{2}-\frac{1}{6}q+\frac{1}{144}=\frac{25}{144}$$

Faktor q^{2}-\frac{1}{6}q+\frac{1}{144}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{25}{144}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(q-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{144}}$$

Permudahkan.

$$q-\frac{1}{12}=\frac{5}{12} q-\frac{1}{12}=-\frac{5}{12}$$

Tambahkan \frac{1}{12} pada kedua-dua belah persamaan.

$$q=\frac{1}{2} q=-\frac{1}{3}$$