Selesaikan 1/9x^2-6x+1+16/15x^2+25x-10=1/3x-1

$$\frac { 1 } { 9 x ^ { 2 } - 6 x + 1 } + \frac { 16 } { 15 x ^ { 2 } + 25 x - 10 } = \frac { 1 } { 3 x - 1 }$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{2}{15}\approx -0.133333333$$

$$x=2$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan sebarang nilai -2,\frac{1}{3} kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, gandaan sepunya terkecil sebanyak 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3x-1 dengan 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Gabungkan 5x dan 48x untuk mendapatkan 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Tolak 16 daripada 10 untuk mendapatkan -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 5 dengan x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 5x+10 dengan 3x-1 dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Tolak 15x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Tolak 25x daripada kedua-dua belah.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Gabungkan 53x dan -25x untuk mendapatkan 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Tambahkan 10 pada kedua-dua belah.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

Tambahkan -6 dan 10 untuk dapatkan 4.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

Susun semula polinomial untuk meletakkannya dalam bentuk piawai. Letakkan terma mengikut tertib daripada kuasa tertinggi hingga terendah.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai -15x^{2}+ax+bx+4. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=28 ab=-15\times 4=-60$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 28.

$$a=30 b=-2$$

Tulis semula -15x^{2}+28x+4 sebagai \left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Faktorkan 15x dalam kumpulan pertama dan 2 dalam kumpulan kedua.

$$15x\left(-x+2\right)+2\left(-x+2\right)$$

Faktorkan sebutan lazim -x+2 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(-x+2\right)\left(15x+2\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan -x+2=0 dan 15x+2=0.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan sebarang nilai -2,\frac{1}{3} kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, gandaan sepunya terkecil sebanyak 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3x-1 dengan 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Gabungkan 5x dan 48x untuk mendapatkan 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Tolak 16 daripada 10 untuk mendapatkan -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 5 dengan x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 5x+10 dengan 3x-1 dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Tolak 15x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Tolak 25x daripada kedua-dua belah.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Gabungkan 53x dan -25x untuk mendapatkan 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Tambahkan 10 pada kedua-dua belah.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

Tambahkan -6 dan 10 untuk dapatkan 4.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -15 dengan a, 28 dengan b dan 4 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Kuasa dua 28.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Darabkan -4 kali -15.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+60\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Darabkan 60 kali 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+240}}{2\left(-15\right)}$$

Tambahkan 784 pada 240.

$$x=\frac{-28±\sqrt{1024}}{2\left(-15\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 1024.

$$x=\frac{-28±32}{2\left(-15\right)}$$

Darabkan 2 kali -15.

$$x=\frac{-28±32}{-30}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-28±32}{-30} apabila ± ialah plus. Tambahkan -28 pada 32.

$$x=\frac{4}{-30}$$

Kurangkan pecahan \frac{4}{-30} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{2}{15}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-28±32}{-30} apabila ± ialah minus. Tolak 32 daripada -28.

$$x=-\frac{60}{-30}$$

Bahagikan -60 dengan -30.

$$x=2$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=-\frac{2}{15} x=2$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Pemboleh ubah x tidak boleh sama dengan sebarang nilai -2,\frac{1}{3} kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, gandaan sepunya terkecil sebanyak 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3x-1 dengan 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Gabungkan 5x dan 48x untuk mendapatkan 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Tolak 16 daripada 10 untuk mendapatkan -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 5 dengan x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 5x+10 dengan 3x-1 dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Tolak 15x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Tolak 25x daripada kedua-dua belah.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Gabungkan 53x dan -25x untuk mendapatkan 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah.

$$28x-15x^{2}=-10+6$$

Tambahkan -10 dan 6 untuk dapatkan -4.

$$28x-15x^{2}=-4$$

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$-15x^{2}+28x=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -15.

$$\frac{-15x^{2}+28x}{-15}=-\frac{4}{-15}$$

Membahagi dengan -15 membuat asal pendaraban dengan -15.

$$x^{2}+\frac{28}{-15}x=-\frac{4}{-15}$$

Bahagikan 28 dengan -15.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=-\frac{4}{-15}$$

Bahagikan -4 dengan -15.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=\frac{4}{15}$$

Bahagikan -\frac{28}{15} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{14}{15}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{14}{15} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{14}{15} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{4}{15}+\frac{196}{225}$$

Tambahkan \frac{4}{15} pada \frac{196}{225} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{256}{225}$$

Faktor x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{256}{225}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{256}{225}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{14}{15}=\frac{16}{15} x-\frac{14}{15}=-\frac{16}{15}$$

Tambahkan \frac{14}{15} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$