Selesaikan =20x^4+31x^2-9

$$= 20 x ^ { 4 } + 31 x ^ { 2 } - 9$$

Faktor

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Langkah Penyelesaian

Untuk memfaktorkan ungkapan, selesaikan persamaan di mana ia bersamaan dengan 0.

$$20x^{4}+31x^{2}-9=0$$

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar -9 dan q membahagikan pekali pelopor 20. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{20},±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{20},±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{20},±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=\frac{1}{2}$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan 20x^{4}+31x^{2}-9 dengan 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 untuk mendapatkan 10x^{3}+5x^{2}+18x+9. Untuk memfaktorkan hasil, selesaikan persamaan di mana ia bersamaan dengan 0.

$$10x^{3}+5x^{2}+18x+9=0$$

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar 9 dan q membahagikan pekali pelopor 10. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{2},±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan 10x^{3}+5x^{2}+18x+9 dengan 2\left(x+\frac{1}{2}\right)=2x+1 untuk mendapatkan 5x^{2}+9. Untuk memfaktorkan hasil, selesaikan persamaan di mana ia bersamaan dengan 0.

$$5x^{2}+9=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 5 untuk a, 0 untuk b dan 9 untuk c dalam formula kuadratik.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Lakukan pengiraan.

$$x=\frac{0±\sqrt{-180}}{10}$$

Polinomial 5x^{2}+9 tidak difaktorkan kerana ia tidak mempunyai sebarang punca rasional.

$$5x^{2}+9$$

Tulis semula ungkapan difaktorkan dengan menggunakan punca diperolehi.

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Nilaikan

$$20x^{4}+31x^{2}-9$$