7x+y=25text{dan}x-7y=25 सोडवा

$$7 x + y = 25 \text { dan } x - 7 y = 25$$

x, y साठी सोडवा

$$x=4$$

$$y=-3$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$7x+y=25,x-7y=25$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$7x+y=25$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$7x=-y+25$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{7}\left(-y+25\right)$$

-y+25 ला \frac{1}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{7}y+\frac{25}{7}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y+25}{7} चा विकल्प वापरा, x-7y=25.

$$-\frac{1}{7}y+\frac{25}{7}-7y=25$$

-\frac{y}{7} ते -7y जोडा.

$$-\frac{50}{7}y+\frac{25}{7}=25$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{25}{7} वजा करा.

$$-\frac{50}{7}y=\frac{150}{7}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{50}{7} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-3$$

x=-\frac{1}{7}y+\frac{25}{7} मध्ये y साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-3\right)+\frac{25}{7}$$

-3 ला -\frac{1}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3+25}{7}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{25}{7} ते \frac{3}{7} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=4,y=-3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$7x+y=25,x-7y=25$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}7&1\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\25\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}7&1\\1&-7\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&1\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\25\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\25\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\25\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{7\left(-7\right)-1}&-\frac{1}{7\left(-7\right)-1}\\-\frac{1}{7\left(-7\right)-1}&\frac{7}{7\left(-7\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\25\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{50}&\frac{1}{50}\\\frac{1}{50}&-\frac{7}{50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\25\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{50}\times 25+\frac{1}{50}\times 25\\\frac{1}{50}\times 25-\frac{7}{50}\times 25\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=4,y=-3$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$7x+y=25,x-7y=25$$

7x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने गुणाकार करा.

$$7x+y=25,7x+7\left(-7\right)y=7\times 25$$

सरलीकृत करा.

$$7x+y=25,7x-49y=175$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 7x+y=25 मधून 7x-49y=175 वजा करा.

$$7x-7x+y+49y=25-175$$

7x ते -7x जोडा. 7x आणि -7x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$y+49y=25-175$$

y ते 49y जोडा.

$$50y=25-175$$

25 ते -175 जोडा.

$$50y=-150$$

दोन्ही बाजूंना 50 ने विभागा.

$$y=-3$$

x-7y=25 मध्ये y साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x-7\left(-3\right)=25$$

-3 ला -7 वेळा गुणाकार करा.

$$x+21=25$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 21 वजा करा.

$$x=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=4,y=-3$$