3x-y+5=0,x+3y-2=0 सोडवा

$$3 x - y + 5 = 0 , x + 3 y - 2 = 0$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{13}{10} = -1\frac{3}{10} = -1.3$$

$$y = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1.1$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x-y+5=0,x+3y-2=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x-y+5=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5 वजा करा.

$$3x-y=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$3x=y-5$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-5\right)$$

y-5 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-5+y}{3} चा विकल्प वापरा, x+3y-2=0.

$$\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}+3y-2=0$$

\frac{y}{3} ते 3y जोडा.

$$\frac{10}{3}y-\frac{5}{3}-2=0$$

-\frac{5}{3} ते -2 जोडा.

$$\frac{10}{3}y-\frac{11}{3}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{11}{3} जोडा.

$$\frac{10}{3}y=\frac{11}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{10}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{11}{10}$$

x=\frac{1}{3}y-\frac{5}{3} मध्ये y साठी \frac{11}{10} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{11}{10}-\frac{5}{3}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{11}{10} चा \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{11}{30}-\frac{5}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{5}{3} ते \frac{11}{30} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-\frac{13}{10}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{13}{10},y=\frac{11}{10}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x-y+5=0,x+3y-2=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-1\\1&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\times 3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\times 3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\left(-5\right)+\frac{1}{10}\times 2\\-\frac{1}{10}\left(-5\right)+\frac{3}{10}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{10}\\\frac{11}{10}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{13}{10},y=\frac{11}{10}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x-y+5=0,x+3y-2=0$$

3x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$3x-y+5=0,3x+3\times 3y+3\left(-2\right)=0$$

सरलीकृत करा.

$$3x-y+5=0,3x+9y-6=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3x-y+5=0 मधून 3x+9y-6=0 वजा करा.

$$3x-3x-y-9y+5+6=0$$

3x ते -3x जोडा. 3x आणि -3x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-y-9y+5+6=0$$

-y ते -9y जोडा.

$$-10y+5+6=0$$

5 ते 6 जोडा.

$$-10y+11=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 11 वजा करा.

$$-10y=-11$$

दोन्ही बाजूंना -10 ने विभागा.

$$y=\frac{11}{10}$$

x+3y-2=0 मध्ये y साठी \frac{11}{10} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+3\times \frac{11}{10}-2=0$$

\frac{11}{10} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$x+\frac{33}{10}-2=0$$

\frac{33}{10} ते -2 जोडा.

$$x+\frac{13}{10}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{13}{10} वजा करा.

$$x=-\frac{13}{10}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{13}{10},y=\frac{11}{10}$$