3r^2-24r=-45 सोडवा

$$3 r ^ { 2 } - 24 r = - 45$$

r साठी सोडवा

$$r=3$$

$$r=5$$

समूहीकृत करून वर्गमूळ वापरण्‍याची चरणे

दोन्ही बाजूंना 45 जोडा.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$r^{2}-8r+15=0$$

समीकरण सोडवण्‍यासाठी, समूहीकृत करून डाव्‍या हाताच्‍या बाजूला ठेवा. अगोदर, डाव्‍या हाताची बाजू r^{2}+ar+br+15 म्‍हणून पुन्‍हा लिहावी लागेल. a आणि b शोधण्‍यासाठी, सोडवण्‍यासाठी सिस्‍टम सेट करा.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

ab सकारात्‍मक असल्‍यापासून a व b मध्‍ये समान चिन्‍ह आहे. a+b नकारात्‍मक असल्‍याने, a व b दोन्‍ही नकारात्‍मक आहेत. 15 उत्‍पादन देत असलेल्‍या असे सर्व इंटिगर पेअर्स सूचीबद्ध करा.

$$-1,-15 -3,-5$$

प्रत्‍येक पेअरची बेरीज करा.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

बेरी -8 येत असलेल्‍या पेअरचे निरसन.

$$a=-5 b=-3$$

\left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right) प्रमाणे r^{2}-8r+15 पुन्हा लिहा.

$$\left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right)$$

पहिल्‍या आणि -3 मध्‍ये अन्‍य समूहात r घटक काढा.

$$r\left(r-5\right)-3\left(r-5\right)$$

वितरण गुणधर्माचा वापर करून r-5 सामान्य पदाचे घटक काढा.

$$\left(r-5\right)\left(r-3\right)$$

समीकरण निरसन शोधण्‍यासाठी, r-5=0 आणि r-3=0 सोडवा.

$$r=5 r=3$$

वर्गसमीकरण सूत्र वापरून चरणे

ax^{2}+bx+c=0 स्वरूपाची सर्व समीकरणे वर्गसमीकरण सूत्र वापरून सोडविता येतील: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. वर्गसमीकरण सूत्र दोन निरसन देते, एक, जेव्हा ± धनात्मक असते आणि दुसरे, जेव्हा ते ऋणात्मक असते.

$$3r^{2}-24r=-45$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 45 जोडा.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=-45-\left(-45\right)$$

-45 त्याच्यामधूनच त्याला वजा केल्यास 0 उरते.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=0$$

0 मधून -45 वजा करा.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

हे समीकरण मानक स्वरूपात आहे: ax^{2}+bx+c=0. वर्गसमीकरण सूत्र, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मध्ये a साठी 3, b साठी -24 आणि c साठी 45 विकल्प म्हणून ठेवा.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

वर्ग -24.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

3 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\times 45}}{2\times 3}$$

45 ला -12 वेळा गुणाकार करा.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-540}}{2\times 3}$$

576 ते -540 जोडा.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{36}}{2\times 3}$$

36 चा वर्गमूळ घ्या.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±6}{2\times 3}$$

-24 ची विरूद्ध संख्या 24 आहे.

$$r=\frac{24±6}{2\times 3}$$

3 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$r=\frac{24±6}{6}$$

आता ± धन असताना समीकरण r=\frac{24±6}{6} सोडवा. 24 ते 6 जोडा.

$$r=\frac{30}{6}$$

30 ला 6 ने भागा.

$$r=5$$

आता ± ऋण असताना समीकरण r=\frac{24±6}{6} सोडवा. 24 मधून 6 वजा करा.

$$r=\frac{18}{6}$$

18 ला 6 ने भागा.

$$r=3$$

समीकरण आता सोडवली आहे.

$$r=5 r=3$$

वर्ग पूर्ण करण्यासाठीची चरणे

यासारखी वर्गसमीकरणे वर्ग पूर्ण करून सोडविता येतात. वर्ग पूर्ण करण्यासाठी, समीकरण प्रथम x^{2}+bx=c फॉर्ममध्ये असले पाहिजे.

$$3r^{2}-24r=-45$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$\frac{3r^{2}-24r}{3}=-\frac{45}{3}$$

3 ने केलेला भागाकार 3 ने केलेला गुणाकार पूर्ववत करतो.

$$r^{2}+\left(-\frac{24}{3}\right)r=-\frac{45}{3}$$

-24 ला 3 ने भागा.

$$r^{2}-8r=-\frac{45}{3}$$

-45 ला 3 ने भागा.

$$r^{2}-8r=-15$$

-8 चा भागाकार करा, x टर्म चा गुणांक, -4 मिळवण्यासाठी 2 द्वारे. नंतर समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -4 चा वर्ग जोडा. ही पायरी समीकरणाच्या डाव्या बाजूला पूर्ण वर्ग बनवते.

$$r^{2}-8r+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

वर्ग -4.

$$r^{2}-8r+16=-15+16$$

-15 ते 16 जोडा.

$$r^{2}-8r+16=1$$

घटक r^{2}-8r+16. सामान्यतः, x^{2}+bx+c पूर्ण वर्ग असतो तेव्हा, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} याचे घटक पाडता येतात.

$$\left(r-4\right)^{2}=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा वर्गमूळ घ्या.

$$\sqrt{\left(r-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

सरलीकृत करा.

$$r-4=1 r-4=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4 जोडा.

$$r=5 r=3$$