3n^2-4n-15=0 सोडवा

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

n साठी सोडवा

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$n=3$$

समूहीकृत करून वर्गमूळ वापरण्‍याची चरणे

समीकरण सोडवण्‍यासाठी, समूहीकृत करून डाव्‍या हाताच्‍या बाजूला ठेवा. अगोदर, डाव्‍या हाताची बाजू 3n^{2}+an+bn-15 म्‍हणून पुन्‍हा लिहावी लागेल. a आणि b शोधण्‍यासाठी, सोडवण्‍यासाठी सिस्‍टम सेट करा.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

ab नकारात्‍मक असल्‍याने, a व b मध्‍ये विरुद्ध चिन्‍हे आहेत. a+b नकारात्‍मक असल्‍याने, नकारात्‍मक नंबरमध्‍ये सकारात्‍मकतेपेक्षा परिपूर्ण मूल्‍य आहे. -45 उत्‍पादन देत असलेल्‍या असे सर्व इंटिगर पेअर्स सूचीबद्ध करा.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

प्रत्‍येक पेअरची बेरीज करा.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

बेरी -4 येत असलेल्‍या पेअरचे निरसन.

$$a=-9 b=5$$

\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right) प्रमाणे 3n^{2}-4n-15 पुन्हा लिहा.

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

पहिल्‍या आणि 5 मध्‍ये अन्‍य समूहात 3n घटक काढा.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

वितरण गुणधर्माचा वापर करून n-3 सामान्य पदाचे घटक काढा.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

समीकरण निरसन शोधण्‍यासाठी, n-3=0 आणि 3n+5=0 सोडवा.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

वर्गसमीकरण सूत्र वापरून चरणे

ax^{2}+bx+c=0 स्वरूपाची सर्व समीकरणे वर्गसमीकरण सूत्र वापरून सोडविता येतील: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. वर्गसमीकरण सूत्र दोन निरसन देते, एक, जेव्हा ± धनात्मक असते आणि दुसरे, जेव्हा ते ऋणात्मक असते.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

हे समीकरण मानक स्वरूपात आहे: ax^{2}+bx+c=0. वर्गसमीकरण सूत्र, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मध्ये a साठी 3, b साठी -4 आणि c साठी -15 विकल्प म्हणून ठेवा.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

वर्ग -4.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

3 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-15 ला -12 वेळा गुणाकार करा.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

16 ते 180 जोडा.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

196 चा वर्गमूळ घ्या.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

-4 ची विरूद्ध संख्या 4 आहे.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

3 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

आता ± धन असताना समीकरण n=\frac{4±14}{6} सोडवा. 4 ते 14 जोडा.

$$n=\frac{18}{6}$$

18 ला 6 ने भागा.

$$n=3$$

आता ± ऋण असताना समीकरण n=\frac{4±14}{6} सोडवा. 4 मधून 14 वजा करा.

$$n=-\frac{10}{6}$$

2 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{-10}{6} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$n=-\frac{5}{3}$$

समीकरण आता सोडवली आहे.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

वर्ग पूर्ण करण्यासाठीची चरणे

यासारखी वर्गसमीकरणे वर्ग पूर्ण करून सोडविता येतात. वर्ग पूर्ण करण्यासाठी, समीकरण प्रथम x^{2}+bx=c फॉर्ममध्ये असले पाहिजे.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 15 जोडा.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 त्याच्यामधूनच त्याला वजा केल्यास 0 उरते.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

0 मधून -15 वजा करा.

$$3n^{2}-4n=15$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

3 ने केलेला भागाकार 3 ने केलेला गुणाकार पूर्ववत करतो.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

15 ला 3 ने भागा.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

-\frac{4}{3} चा भागाकार करा, x टर्म चा गुणांक, -\frac{2}{3} मिळवण्यासाठी 2 द्वारे. नंतर समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{2}{3} चा वर्ग जोडा. ही पायरी समीकरणाच्या डाव्या बाजूला पूर्ण वर्ग बनवते.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

अपूर्णांकाचा अंश आणि विभाजक या दोन्हींचा वर्ग काढून -\frac{2}{3} वर्ग घ्या.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

5 ते \frac{4}{9} जोडा.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

घटक n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. सामान्यतः, x^{2}+bx+c पूर्ण वर्ग असतो तेव्हा, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} याचे घटक पाडता येतात.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा वर्गमूळ घ्या.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

सरलीकृत करा.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{2}{3} जोडा.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$