20x^2-11x-3=0 सोडवा

$$20 x ^ { 2 } - 11 x - 3 = 0$$

x साठी सोडवा

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

समूहीकृत करून वर्गमूळ वापरण्‍याची चरणे

समीकरण सोडवण्‍यासाठी, समूहीकृत करून डाव्‍या हाताच्‍या बाजूला ठेवा. अगोदर, डाव्‍या हाताची बाजू 20x^{2}+ax+bx-3 म्‍हणून पुन्‍हा लिहावी लागेल. a आणि b शोधण्‍यासाठी, सोडवण्‍यासाठी सिस्‍टम सेट करा.

$$a+b=-11 ab=20\left(-3\right)=-60$$

ab नकारात्‍मक असल्‍याने, a व b मध्‍ये विरुद्ध चिन्‍हे आहेत. a+b नकारात्‍मक असल्‍याने, नकारात्‍मक नंबरमध्‍ये सकारात्‍मकतेपेक्षा परिपूर्ण मूल्‍य आहे. -60 उत्‍पादन देत असलेल्‍या असे सर्व इंटिगर पेअर्स सूचीबद्ध करा.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

प्रत्‍येक पेअरची बेरीज करा.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

बेरी -11 येत असलेल्‍या पेअरचे निरसन.

$$a=-15 b=4$$

\left(20x^{2}-15x\right)+\left(4x-3\right) प्रमाणे 20x^{2}-11x-3 पुन्हा लिहा.

$$\left(20x^{2}-15x\right)+\left(4x-3\right)$$

20x^{2}-15x मधील 5x घटक काढा.

$$5x\left(4x-3\right)+4x-3$$

वितरण गुणधर्माचा वापर करून 4x-3 सामान्य पदाचे घटक काढा.

$$\left(4x-3\right)\left(5x+1\right)$$

समीकरण निरसन शोधण्‍यासाठी, 4x-3=0 आणि 5x+1=0 सोडवा.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{5}$$

वर्गसमीकरण सूत्र वापरून चरणे

ax^{2}+bx+c=0 स्वरूपाची सर्व समीकरणे वर्गसमीकरण सूत्र वापरून सोडविता येतील: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. वर्गसमीकरण सूत्र दोन निरसन देते, एक, जेव्हा ± धनात्मक असते आणि दुसरे, जेव्हा ते ऋणात्मक असते.

$$20x^{2}-11x-3=0$$

हे समीकरण मानक स्वरूपात आहे: ax^{2}+bx+c=0. वर्गसमीकरण सूत्र, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मध्ये a साठी 20, b साठी -11 आणि c साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 20\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

वर्ग -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 20\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

20 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-80\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

-3 ला -80 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2\times 20}$$

121 ते 240 जोडा.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2\times 20}$$

361 चा वर्गमूळ घ्या.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±19}{2\times 20}$$

-11 ची विरूद्ध संख्या 11 आहे.

$$x=\frac{11±19}{2\times 20}$$

20 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{11±19}{40}$$

आता ± धन असताना समीकरण x=\frac{11±19}{40} सोडवा. 11 ते 19 जोडा.

$$x=\frac{30}{40}$$

10 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{30}{40} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$x=\frac{3}{4}$$

आता ± ऋण असताना समीकरण x=\frac{11±19}{40} सोडवा. 11 मधून 19 वजा करा.

$$x=-\frac{8}{40}$$

8 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{-8}{40} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$x=-\frac{1}{5}$$

समीकरण आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{5}$$

वर्ग पूर्ण करण्यासाठीची चरणे

यासारखी वर्गसमीकरणे वर्ग पूर्ण करून सोडविता येतात. वर्ग पूर्ण करण्यासाठी, समीकरण प्रथम x^{2}+bx=c फॉर्ममध्ये असले पाहिजे.

$$20x^{2}-11x-3=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3 जोडा.

$$20x^{2}-11x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3 त्याच्यामधूनच त्याला वजा केल्यास 0 उरते.

$$20x^{2}-11x=-\left(-3\right)$$

0 मधून -3 वजा करा.

$$20x^{2}-11x=3$$

दोन्ही बाजूंना 20 ने विभागा.

$$\frac{20x^{2}-11x}{20}=\frac{3}{20}$$

20 ने केलेला भागाकार 20 ने केलेला गुणाकार पूर्ववत करतो.

$$x^{2}-\frac{11}{20}x=\frac{3}{20}$$

-\frac{11}{20} चा भागाकार करा, x टर्म चा गुणांक, -\frac{11}{40} मिळवण्यासाठी 2 द्वारे. नंतर समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{11}{40} चा वर्ग जोडा. ही पायरी समीकरणाच्या डाव्या बाजूला पूर्ण वर्ग बनवते.

$$x^{2}-\frac{11}{20}x+\left(-\frac{11}{40}\right)^{2}=\frac{3}{20}+\left(-\frac{11}{40}\right)^{2}$$

अपूर्णांकाचा अंश आणि विभाजक या दोन्हींचा वर्ग काढून -\frac{11}{40} वर्ग घ्या.

$$x^{2}-\frac{11}{20}x+\frac{121}{1600}=\frac{3}{20}+\frac{121}{1600}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{3}{20} ते \frac{121}{1600} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x^{2}-\frac{11}{20}x+\frac{121}{1600}=\frac{361}{1600}$$

घटक x^{2}-\frac{11}{20}x+\frac{121}{1600}. सामान्यतः, x^{2}+bx+c पूर्ण वर्ग असतो तेव्हा, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} याचे घटक पाडता येतात.

$$\left(x-\frac{11}{40}\right)^{2}=\frac{361}{1600}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा वर्गमूळ घ्या.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{1600}}$$

सरलीकृत करा.

$$x-\frac{11}{40}=\frac{19}{40} x-\frac{11}{40}=-\frac{19}{40}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{11}{40} जोडा.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{5}$$