2x-3y+5=0,4x+ky-2=0 सोडवा

$$2 x - 3 y + 5 = 0,4 x + k y - 2 = 0$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)}$$

$$y=\frac{12}{k+6}$$

$$k\neq -6$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x-3y+5=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5 वजा करा.

$$2x-3y=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$2x=3y-5$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

3y-5 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{3y-5}{2} चा विकल्प वापरा, 4x+ky-2=0.

$$4\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)+ky-2=0$$

\frac{3y-5}{2} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$6y-10+ky-2=0$$

6y ते ky जोडा.

$$\left(k+6\right)y-10-2=0$$

-10 ते -2 जोडा.

$$\left(k+6\right)y-12=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 12 जोडा.

$$\left(k+6\right)y=12$$

दोन्ही बाजूंना 6+k ने विभागा.

$$y=\frac{12}{k+6}$$

x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2} मध्ये y साठी \frac{12}{6+k} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{12}{k+6}-\frac{5}{2}$$

\frac{12}{6+k} ला \frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{18}{k+6}-\frac{5}{2}$$

-\frac{5}{2} ते \frac{18}{6+k} जोडा.

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2k-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2k-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2k-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2k-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2\left(k+6\right)}&\frac{3}{2\left(k+6\right)}\\-\frac{2}{k+6}&\frac{1}{k+6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2\left(k+6\right)}\left(-5\right)+\frac{3}{2\left(k+6\right)}\times 2\\\left(-\frac{2}{k+6}\right)\left(-5\right)+\frac{1}{k+6}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)}\\\frac{12}{k+6}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

2x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y+4\times 5=0,2\times 4x+2ky+2\left(-2\right)=0$$

सरलीकृत करा.

$$8x-12y+20=0,8x+2ky-4=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 8x-12y+20=0 मधून 8x+2ky-4=0 वजा करा.

$$8x-8x-12y+\left(-2k\right)y+20+4=0$$

8x ते -8x जोडा. 8x आणि -8x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-12y+\left(-2k\right)y+20+4=0$$

-12y ते -2ky जोडा.

$$\left(-2k-12\right)y+20+4=0$$

20 ते 4 जोडा.

$$\left(-2k-12\right)y+24=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 24 वजा करा.

$$\left(-2k-12\right)y=-24$$

दोन्ही बाजूंना -12-2k ने विभागा.

$$y=\frac{12}{k+6}$$

4x+ky-2=0 मध्ये y साठी \frac{12}{6+k} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x+k\times \frac{12}{k+6}-2=0$$

\frac{12}{6+k} ला k वेळा गुणाकार करा.

$$4x+\frac{12k}{k+6}-2=0$$

\frac{12k}{6+k} ते -2 जोडा.

$$4x+\frac{2\left(5k-6\right)}{k+6}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{2\left(5k-6\right)}{6+k} वजा करा.

$$4x=-\frac{2\left(5k-6\right)}{k+6}$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$