2x^2-10x=6+11sqrt{x^2-5x} सोडवा

$$2 x ^ { 2 } - 10 x = 6 + 11 \sqrt { x ^ { 2 } - 5 x }$$

x साठी सोडवा

$$x=-4$$

$$x=9$$

निरसन चरणे

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6 वजा करा.

$$2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा वर्ग काढा.

$$\left(2x^{2}-10x-6\right)^{2}=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

वर्ग 2x^{2}-10x-6.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

विस्तृत करा \left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=11^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

2 च्या पॉवरसाठी 11 मोजा आणि 121 मिळवा.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

2 च्या पॉवरसाठी \sqrt{x^{2}-5x} मोजा आणि x^{2}-5x मिळवा.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(x^{2}-5x\right)$$

121 ला x^{2}-5x ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121x^{2}-605x$$

दोन्ही बाजूंकडून 121x^{2} वजा करा.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36-121x^{2}=-605x$$

-45x^{2} मिळविण्यासाठी 76x^{2} आणि -121x^{2} एकत्र करा.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36=-605x$$

दोन्ही बाजूंना 605x जोडा.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36+605x=0$$

725x मिळविण्यासाठी 120x आणि 605x एकत्र करा.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36=0$$

रॅशनल परिमेय प्रमेयानुसार, सर्व बहुपदीय रॅशनल परिमेय \frac{p}{q} स्वरूपात आहेत, जेथे p स्थिर टर्म 36 ला विभाजित करते आणि q अग्रगण्य गुणांक 4 ला विभाजित करते. सर्व उमेदवारांची यादी करा \frac{p}{q}.

$$±9,±18,±36,±\frac{9}{2},±3,±6,±12,±\frac{9}{4},±\frac{3}{2},±1,±2,±4,±\frac{3}{4},±\frac{1}{2},±\frac{1}{4}$$

तंतोतंत मूल्‍यानुसार अगदी लहानपासून सुरू करून, सर्व इंटिगर मूल्‍ये वापरण्‍याचा प्रयत्‍न करून असे एक रूट करा. कोणतेही इंटिगर रूट्स आढळले नसल्‍यास, अंश वापरून पाहा.

$$x=-4$$

फॅक्‍टर थिओरेमनुसार, प्रत्येक परिमेय k साठी x-k बहुपदी अवयव आहे. 4x^{3}-56x^{2}+179x+9 मिळविण्यासाठी 4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36 ला x+4 ने भागाकार करा. निकाल 0 समान असताना समीकरण सोडवा.

$$4x^{3}-56x^{2}+179x+9=0$$

रॅशनल परिमेय प्रमेयानुसार, सर्व बहुपदीय रॅशनल परिमेय \frac{p}{q} स्वरूपात आहेत, जेथे p स्थिर टर्म 9 ला विभाजित करते आणि q अग्रगण्य गुणांक 4 ला विभाजित करते. सर्व उमेदवारांची यादी करा \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

तंतोतंत मूल्‍यानुसार अगदी लहानपासून सुरू करून, सर्व इंटिगर मूल्‍ये वापरण्‍याचा प्रयत्‍न करून असे एक रूट करा. कोणतेही इंटिगर रूट्स आढळले नसल्‍यास, अंश वापरून पाहा.

$$x=9$$

फॅक्‍टर थिओरेमनुसार, प्रत्येक परिमेय k साठी x-k बहुपदी अवयव आहे. 4x^{2}-20x-1 मिळविण्यासाठी 4x^{3}-56x^{2}+179x+9 ला x-9 ने भागाकार करा. निकाल 0 समान असताना समीकरण सोडवा.

$$4x^{2}-20x-1=0$$

फॉर्म ax^{2}+bx+c=0 ची समीकरणे वर्गसमीकरण सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} वापरून सोडवली जाऊ शकतात. वर्गसमीकरण सुत्रामध्ये a साठी 4, b साठी -20 आणि c साठी -1 विकल्प आहे.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

गणना करा.

$$x=\frac{20±4\sqrt{26}}{8}$$

जेव्हा ± धन असते तेव्हा आणि ± ऋण असते तेव्हा 4x^{2}-20x-1=0 समीकरण सोडवा.

$$x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

आढळलेले सर्व सोल्‍यूशन सूचीबद्ध करा.

$$x=-4 x=9 x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -4 चा विकल्प वापरा 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\left(-4\right)^{2}-10\left(-4\right)=6+11\sqrt{\left(-4\right)^{2}-5\left(-4\right)}$$

सरलीकृत करा. मूल्य x=-4 समीकरणाचे समाधान करते.

$$72=72$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी 9 चा विकल्प वापरा 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times 9^{2}-10\times 9=6+11\sqrt{9^{2}-5\times 9}$$

सरलीकृत करा. मूल्य x=9 समीकरणाचे समाधान करते.

$$72=72$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{5-\sqrt{26}}{2} चा विकल्प वापरा 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-10\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-5\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}}$$

सरलीकृत करा. मूल्य x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} समीकरणाचे समाधान करत नाही.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{\sqrt{26}+5}{2} चा विकल्प वापरा 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-10\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-5\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}}$$

सरलीकृत करा. मूल्य x=\frac{\sqrt{26}+5}{2} समीकरणाचे समाधान करत नाही.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x} च्या सर्व समाधानांना यादीबद्ध करा

$$x=-4 x=9$$