{l}{x=-4y-5}{2x+10y=8} सोडवा

$$\left. \begin{array}{l}{ x = - 4 y - 5 }\\{ 2 x + 10 y = 8 }\end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-41$$

$$y=9$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 4y जोडा.

$$x+4y=-5$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+4y=-5,2x+10y=8$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+4y=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4y वजा करा.

$$x=-4y-5$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -4y-5 चा विकल्प वापरा, 2x+10y=8.

$$2\left(-4y-5\right)+10y=8$$

-4y-5 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-8y-10+10y=8$$

-8y ते 10y जोडा.

$$2y-10=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 10 जोडा.

$$2y=18$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=9$$

x=-4y-5 मध्ये y साठी 9 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-4\times 9-5$$

9 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-36-5$$

-5 ते -36 जोडा.

$$x=-41$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-41,y=9$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 4y जोडा.

$$x+4y=-5$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+4y=-5,2x+10y=8$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\2&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&4\\2&10\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\2&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10-4\times 2}&-\frac{4}{10-4\times 2}\\-\frac{2}{10-4\times 2}&\frac{1}{10-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-2\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\left(-5\right)-2\times 8\\-\left(-5\right)+\frac{1}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-41\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-41,y=9$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 4y जोडा.

$$x+4y=-5$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+4y=-5,2x+10y=8$$

x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$2x+2\times 4y=2\left(-5\right),2x+10y=8$$

सरलीकृत करा.

$$2x+8y=-10,2x+10y=8$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2x+8y=-10 मधून 2x+10y=8 वजा करा.

$$2x-2x+8y-10y=-10-8$$

2x ते -2x जोडा. 2x आणि -2x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$8y-10y=-10-8$$

8y ते -10y जोडा.

$$-2y=-10-8$$

-10 ते -8 जोडा.

$$-2y=-18$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$y=9$$

2x+10y=8 मध्ये y साठी 9 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+10\times 9=8$$

9 ला 10 वेळा गुणाकार करा.

$$2x+90=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 90 वजा करा.

$$2x=-82$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=-41$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-41,y=9$$